Plateau Meteorology

Plateau Meteorology >

2023 , Vol. 42 >Issue 3: 590 - 602

DOI: https://doi.org/10.7522/j.issn.1000-0534.2022.00042

Application of the Analytic Model Based on Energy Balance into the Lake Ice Simulation of Qinghai Lake

  • Yixin ZHAO ,
  • Lijuan WEN ,
  • Mengxiao WANG ,
  • Li ZENG ,
  • Ruijia NIU
Expand
  • 1. Key Laboratory of Land Surface Process and Climate Change in Cold and Arid Regions，Northwest Institute of Eco-Environment and Resources，Chinese Academy of Sciences，Lanzhou 730000，Gansu，China
    2. University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China

Received date: 2021-12-30

  Revised date: 2022-04-15

  Online published: 2023-05-18

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Cite this article

Yixin ZHAO , Lijuan WEN , Mengxiao WANG , Li ZENG , Ruijia NIU . Application of the Analytic Model Based on Energy Balance into the Lake Ice Simulation of Qinghai Lake[J]. Plateau Meteorology, 2023 , 42(3) : 590 -602 . DOI: 10.7522/j.issn.1000-0534.2022.00042

1 引言

全世界1.17亿个湖泊中， 一半以上都不同程度地被冰层所覆盖。湖冰为人类提供了一系列的生产、 生活、 生态系统服务功能， 包括鱼类捕捞、 交通运输、 娱乐项目和水循环调节等（Sharma et al， 2019）。湖冰是气候变化敏感指示器， 同时也显著地影响局地和区域气候。一方面， 湖冰对气候变化响应敏感， 湖冰特征变化可以作为气候随时间变化的指标（Vavrus et al， 1996； Hodgkins et al， 2002； Imrit and Sharma， 2021）； 另一方面， 冰层可以显著阻碍空气和湖水之间的热交换， 并改变结冰期和冰消期之间的热量和水分循环（Li et al， 2016）， 冰层冻结和破裂过程会导致表面反照率、 表面粗糙度和温度等的突然变化（Guo et al， 2018）。
湖冰衰退现象极大程度受到气温影响（Imrit and Sharma， 2021）， 由于气候变暖， 全球湖冰总体上处于衰退状态（Sharma et al， 2019）， 主要体现在开始结冰日期延后、 融化结束日期提前、 冰期缩短（Benson et al， 2011； Grant et al， 2021）。在过去的150年里， 北半球湖泊封冻持续时间平均缩短了28天， 而近几十年来湖冰衰退速率更高（Woolway et al， 2020）。目前， 北半球约有15000个湖泊存在间歇性冰层覆盖的情况， 极端无冰事件发生频率也在增加， 预计未来北半球将有4.6%的湖泊会经历间歇性的冬季冰盖， 美国北部、 挪威和瑞典部分湖泊面临冰盖永久消退的可能。湖冰消失不仅将对自然生态系统产生影响， 比如水温上升， 水中藻类大量繁殖， 湖内生态群落发生改变等； 还将造成社会经济影响， 例如冬季文化传统的丧失， 冰上交通和冰钓、 滑冰等娱乐活动无法实现（Sharma et al， 2019； Filazzola et al， 2020）。
青藏高原是地球上海拔最高、 面积最大的高原， 被称为“第三极”， 其天然湖泊分布广泛， 高原内陆湖泊群湖泊面积占中国湖泊总面积的一半以上（马耀明等， 2021）。青藏高原是全球气候变化最敏感的地区之一， 可以作为全球变暖的早期预警信号（Kuang and Jiao， 2016）。青藏高原在过去几十年呈现出显著的增温趋势， 这一增温状态未来将继续保持（Kang et al， 2010）。21世纪青藏高原气候变暖将较中国其他地区更为明显， 且冬季变暖程度比夏季更为强烈（Kang et al， 2010； 杨耀先等， 2022）。现阶段， 青藏高原大部分湖泊湖冰也呈现出了开始结冰日期延后、 融化结束日期提前、 冰期缩短的衰退特征（Guo et al， 2020； Cai et al， 2017； Qi et al， 2019）， 但青藏高原湖冰生消过程变化较为复杂， 也存在小部分湖泊冰期延长的现象（Cai et al， 2019； Wang et al， 2021）。
青藏高原地域辽阔， 人口稀少， 环境总体比较恶劣， 野外观测不易。湖冰的直接观测具有空间覆盖率低和时间不连续性的缺陷， 且观测对象仅限于少数大型湖泊（Zhang et al， 2020）。因此， 遥感观测数据被广泛使用， 但卫星遥感会受到天气、 地形的影响， 时间精度和空间分辨率有限（马耀明等， 2021）。
现阶段研究中， 观测、 遥感数据结合各种湖泊模式的研究方法被广泛应用（Lv et al， 2019； Stepanenko et al， 2019； 张群慧， 2021）， 气候模拟领域中湖冰模拟愈发受到研究者关注。准确模拟湖泊冰情的能力将是改进全球环流模型、 区域气候模型和数值天气预报的重要方向（Brown and Duguay， 2010）。但由于湖泊模式受到多种参数影响， 其物理过程复杂以及物理框架的不足等， 目前对湖冰的模拟效果并不理想。其中， LAKE模式对鄂陵湖冰期和湖冰消融日的模拟存在偏差（Li et al， 2020）， Flake模式在模拟青藏高原湖泊时无法呈现冰封期浅层水温廓线（Lazhu et al， 2016）。
为避免湖泊模式中多参数和复杂物理过程对湖冰模拟的影响， 更直接、 方便地研究湖冰变化， 一些简单的湖冰模型也得以发展， 例如： 基于表面温度或气温可直接计算的冰厚模型——度日法湖冰生长模型（Stefan， 1891）、 Zubov模型（Maykut， 1986）等。上述模型虽计算简单， 但未考虑到太阳辐射等因素的影响。青藏高原平均海拔4000 m以上（Kang et al， 2010）， 强太阳辐射影响着湖冰生消过程（Kirillin et al， 2021； Lazhu et al， 2021； Cao et al， 2021）。因此， 为了更加全面地分析湖冰生消过程， 本研究引入基于能量平衡的湖冰模拟分析模型（Leppäranta， 2015）， 该模型与度日法湖冰生长模型在计算中有一共同参数——冻结系数A0， 其选取对开始结冰时间、 融化结束时间和冰层厚度都有影响， 但已有的研究在青海湖的取值为0.9~1.56 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2（曹娟等， 2021）或1.1~1.4 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2（汪关信， 2020）， 二者范围均远小于理论值3.3 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2（Leppäranta， 2015）， 需进一步研究。因此本文将以青藏高原最大湖泊——青海湖为研究对象， 首先通过观测数据和度日法确定A0， 进而应用度日法和基于能量平衡的分析模型模拟青海湖2018 -2019年冰期湖冰状况， 通过与观测数据对比， 评估分析模型在青海湖的适用性， 分析模型的应用将有助于探究湖冰变化的影响机理和预测青藏高原湖冰变化状况。

2 研究区域、 数据和方法

2.1　研究区域

青海湖位于青藏高原东北部， 在青海省刚察县、 共和县及海晏县交界处， 海拔3196 m， 湖北面是大通山， 东面是日月山， 南面是青海南山， 西面是橡皮山（图1）。湖区范围为99.60°E -100.27°E， 36.53°N -37.25°N。湖水容积785.2×108 m3， 最长约109 km， 最宽约65 km（汪关信等， 2021）， 平均水深18.3 m， 最大水深26.6 m（青海省水利厅和青海统计局， 2015）， 湖水呈弱碱性， pH值为9.23， 含盐量为10.4 g·L-1。青海湖是中国最大的湖泊， 也是中国最大的咸水湖、 内流湖， 截至2019年其面积达4486.1 km²（孙永寿等， 2021）。青海湖处于我国东部季风区、 西北干旱区和西南高寒区的交汇地带， 属于高原大陆性气候， 日照强烈， 太阳辐射强， 少雨多风， 暖季短暂， 冷季漫长， 冬寒夏凉， 气温日差较大。青海湖流域1958 -2019年平均气温上升了2.2 ℃， 上升速率为0.37 ℃·（10a）-1， 冬季气温升高最为明显， 上升速率为0.52 ℃·（10a）-1。1956 -2019年间青海湖降水量总体呈上升趋势， 且蒸发量呈显著下降趋势（孙永寿等， 2021）。
图1 青海湖及环湖15个雷达测飞区域（圆点）、 湖中11个MODIS LST取值点（三角）和气象要素数据观测点（五角星）

Fig.1 Qinghai Lake and the 15 radar flying areas around the lake （dots）， the 11 MODIS LST sampling points inside the lake （triangles） and the meteorological element data observation points （pentagram）

青海湖湖水补给来源是降水、 地表径流和地下水（周丹等， 2021）， 每年获得径流补给入湖的河流有40余条， 主要补给来自西部的布哈河、 西北部的乌哈阿兰河、 北部的沙柳河和哈尔盖河， 上述4条河年径流量占入湖径流量的86%， 其中布哈河和沙柳河入湖径流量占青海湖总水量补给的60%左右（孙永寿等， 2021）， 1956 -2019年间布哈河口水文站和刚察水文站的径流量监测数据均呈显著上升趋势。青海湖的冻结消融过程完整且稳定， 每年12月中下旬或来年1月上旬开始冻结， 来年4月上旬或中旬完全融化， 几乎不存在反复冻结的情况（李晓锋， 2018）。

2.2　研究数据

2.2.1　飞航式雷达湖冰测厚数据

青海湖冰厚观测数据较少， 本文选取了2019年1月30日至2月1日、 2019年3月1 -3日和2019年3月22 -24日在青海湖主体边缘共15个点飞航式测冰雷达所观测的湖冰厚度作为研究2018 -2019年青海湖冰期的观测数据（曹娟等， 2021）。

2.2.2　气象观测站数据

刚察站是距离青海湖最近的国家基准站， 本文所用刚察站气象观测数据来自国家气象科学数据中心（http： //data.cma.cn/）的中国地面气候资料日值数据集（V3.0）， 本文提取刚察站2000 -2017年冬季青海湖冻结初日气温， 用以验证冻结初日气温阈值选择结果。

2.2.3　青海湖湖面气象要素观测数据集

青海湖湖面气象要素观测数据集（李小雁， 2020； Li et al， 2016， 2018a）来自于国家青藏高原科学数据中心。观测点位于青海湖鱼雷发射基地站（36.590°N， 100.475°E）， 下垫面为青海湖水面。观测时间为2018年10月23日至2019年12月31日， 观测时间间隔为10 min， 数据集进行了质量控制， 剔除了有重复记录的时刻， 删除了明显超出物理意义或超出仪器量程的数据。
本文采用的观测要素有： 风速、 气温、 相对湿度、 四分量辐射、 湖表辐射温度和湖水温度。该数据集观测时段覆盖2018 -2019年青海湖冰期全过程， 研究中选取2018年10月23日至2019年5月31日的数据判断冻结初日、 驱动湖冰模拟模型。由于本研究中冰厚模拟方法为准稳态模型， 时间间隔为1天， 故对观测数据进行了日平均处理。
在研究时段内， 青海湖湖面气象要素观测点日均气温与刚察站变化趋势较为一致， 相关系数0.944。青海湖湖面日值气温相比偏大2.02 ℃［图2（a）］， 偏差主要来自于秋冬季， 这主要是由于这两个观测站点下垫面分别为湖面和陆面， 湖泊秋冬季会释放储存在水体中的热量加热大气（杜娟等， 2020）， 秋冬季湖面气温高于刚察站气温。
图2 2018年10月23日至2019年5月15日鱼雷基地观测点ERA5-Land气温和该点实测气温与刚察站气温的对比（a）， 观测点表面温度和MODIS LST对比（b）

Fig.2 Comparison of ERA5-Land temperature at the Torpedo Base observation site and measured temperature at the site and the Gangcha station temperature （a）， comparison of lake surface temperature at the observation site and MODIS LST （b） from 23 October 2018 to 15 May 2019

2.2.4　 ERA5-Land再分析数据集

ERA5-Land是通过重演ECMWF ERA5气候再分析的陆地部分产生的数据集， 它将模型数据与来自世界各地的观测数据结合， 可以对过去的气候进行准确描述。空间范围覆盖全球， 其空间分辨率为0.1°×0.1°， 时间分辨率为1 h （https： //cds.climate.copernicus.eu/cdsapp#！/dataset/reanalysis-era5-land？tab=form）。
本文选取了2018年10月23日至2019年5月31日ERA5-Land再分析数据集中青海湖气象要素观测点的2 m气温， 其日均气温与刚察站日值气温变化趋势一致［图2（a）］， 相关系数0.955。该数据与湖面观测点气温相关系数达0.964， 但其较实测气温偏低2.61 ℃［图2（a）］， 均方根误差为6.240 ℃。文中， 2 m气温用于度日法湖冰生长模型中负积温的计算。

2.2.5　 MODIS地表温度数据及图像

中分辨率成像光谱仪（MODIS）是美国宇航局研制大型空间遥感仪器， 文中所使用的是地表温度产品（MYD11C2）， 该产品的MODIS传感器搭载在Aqua卫星上， 它是下午星， 过境时间大致为13:30（北京时， 下同）和01:30。该产品空间分辨率0.05°， 可提供8天一次的合成平均的地表温度数据， 每次数据包含白天和夜间两种情况， 从每年的第1日开始， 到第361日结束。本文选取了2018年10月23日至2019年5月31日青海湖范围内湖边14个点和湖内11个点（图1）的地表温度用以判定青海湖冰期开始冻结和结束融化情况。
湖面观测点的MODIS LST与实测湖表面温度大体吻合［图2（b）］， 除2018年10月24日至12月3日期间MODIS LST偏大2.39 ℃， 其余时段偏小3.54 ℃， 全时段偏差为-2.27 ℃， 均方根误差为6.542 ℃， 数据相关系数0.827。MODIS LST是基于热红外遥感反演所得， 观测的湖表面温度是通过红外温度计测得的。由于卫星遥感会受到地表特征、 大气条件等的影响（Noi et al， 2016）， 且MODIS LST的格点经纬度与观测点有小的差别， 造成了负偏差的产生， 这与闵文彬等（2015）在青藏高原东侧的比较结果一致。
本文将根据MODIS LST、 观测湖表面温度结合青海湖冻结温度阈值， 同时参考Aqua/MODIS青海湖每日图像， 综合判断冻结开始时间和融化结束时间。由于青海湖冻结过程从湖边开始逐渐向中心蔓延， 在冰期之前参考湖泊中间点和全湖平均的MODIS LST， 在融冰阶段参考青海湖边缘和全湖平均的MODIS LST。

2.3　度日法湖冰生长模型

2.3.1　基于湖表面温度计算的度日法

早在1891年， Stefan （1891）提出了第一个冰生长模型， 该模型基于冰冻过程中释放的潜热通过冰的准稳态传导， 假设如下： （1）忽略冰的热惯性， 即准稳态方法； （2）忽略太阳辐射对冰的穿透， （3）忽略从水到冰的热通量； （4）冰层上表面温度是已知的时间的函数， T s = T s t。此为度日法湖冰生长模型， 每日湖冰厚度的增长被表示为：
ρ L f d h d t = k T f - T s h
式中： ρ是冰体密度， 根据湖冰状况不同其数值跨度较大， 为400~920 kg ∙m-3（Michel and Ramseier， 1971； 黄文峰， 2013）； L f是冰的冻结潜热， 为3.335×105 J ∙kg-1； h为冰厚（单位： m）； t是时间（单位： d）； k是冰体导热系数， 范围为0.65~2.25 W ∙ ( m ∙ K ) - 1（黄文峰， 2013）； T f是湖水冰点温度， 由于青海湖是咸水湖， 其冰点温度为-0.62 ℃； T s是冰层上表面温度。
当 t = 0时， h = h 0， 式（1）可被积分为：
∫ h 0 h t h d h = k ρ L f ∫ 0 t T f - T s t ' d t '
h 2 t - h 0 2 2 = k ρ L f ∫ 0 t T f - T s t ' d t '
h 2 t = h 0 2 + A 0 ( T s ) 2 S T s t
h t = h 0 2 + A 0 ( T s ) 2 S T s t
当从冻结初日开始计算， 即确定时次， 此时 h 0 = 0， 冰厚为：
h = A 0 ( T s ) ∙ S T s 1 / 2
其中， S T s = ∫ 0 t T f - T s t ' d t '
A 0 ( T s ) = 2 k ρ L f
式中： S T s是利用湖表面温度确定冻结开始时间从而计算的负积温（单位： ℃·d）。本研究以-0.62 ℃作为判断冻结的阈值， 在湖泊冻结前湖表面温度会在阈值附近上下波动， 直到最后一次湖表面温度高于阈值之后， 其会在整个冰期持续低于阈值， 因而据此判断出冻结开始时间。
A 0 ( T s )为冻结系数［单位： c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2］， 由于冰密度及冰导热系数波动较大且观测困难， A 0 ( T s )随湖冰状况不断变化， 因此大多被当作经验系数， 可由式（3）基于湖表面温度反算， 得到：
A 0 ( T s ) = h / S T s 1 / 2

2.3.2　基于气温计算的度日法

由于在实际应用中封冻期湖表面温度不易获得， 以往研究中也常利用气温代替湖表面温度进行计算（李志军等， 1994； 赵新， 2011； 李畅游等， 2016； 汪关信， 2020）。此时， 式（3）、 （4）、 （6）中的 A 0 ( T s )、 S T s、 T s分别变为 A 0 ( T a )、 S T a、 T a， 得到：
A 0 ( T a ) = h / S T a 1 / 2
此时基于气温计算负积温时要继续采用湖表面温度确定的冻结开始时间。基于气温有两种冻结开始日期的判断方法， 一是以冻结温度 T f为阈值， 当空气温度连续三天小于 T f则认为开始冻结（李畅游等， 2016）， 利用该阈值确定出的负积温表示为 S T a ( T f )； 另一种是曹娟等（2021）对度日法的改进， 在其研究中， 根据11月多年平均气温-3.72 ℃， 选取-4 ℃为青海湖冻结的空气温度阈值， 利用该阈值确定出的负积温表示为 S T a ( - 4 )。

2.4　分析模型

Leppäranta发展了基于表面能量平衡的分析模型， 其中冰属性的变化可被参数化。分析模型在北欧地区被用来获得不同湖泊和环境条件下冰层的厚度， 可以较好地应用于冰的研究（Leppäranta， 2010， 2013， 2015）。

2.4.1　湖表面能量平衡

湖表面能量平衡公式， 方向向下为正
Q 0 = Q S 0 + Q L a + Q L 0 + Q H + Q e + p ν , T P
式中： Q 0表示湖表面能量。
Q S 0是湖泊表面吸收的太阳辐射， 方向向下
Q S 0 = Q s - Q r - Q T = 1 - α Q s - Q T
式中： Q s是向下短波辐射； Q r是反射的太阳辐射， Q r = α Q s； α是反照率， 计算时取水面反照率0.06 （Wen et al， 2016）， 冰面反照率为0.3 （Li et al， 2018b）； Q T是透射的太阳辐射， 计算时取水面透射率为0.95 （Shirasawa et al， 2010）， 冰面透射率为0.1 （宋爽， 2019）。
Q L a是大气长波辐射， 方向向下
ε 0 Q L a = σ ε 0 ε a T a 4
式中： ε 0为水体/冰体表面辐射率； σ为Stefan-Boltzmann常数， 5.6696×10-8 W ∙ m - 2 ∙ K - 4； ε a为大气发射率， 计算中忽略云量， 取大气晴空发射率（Brutsaert， 1975）； T a为空气温度。
Q L 0是湖泊表面长波辐射， 方向向上
Q L 0 = σ ε 0 T s 4
式中： T s为湖表温度或冰体上表面温度。对 T s 4做泰勒展开， T s 4 = T a + T s - T a 4 ≈ T a 4 - 4 T a 3 T a - T s， 将其代入式（10）和式（11）得：
ε 0 Q L a + Q L 0 = σ ε 0 ε a T a 4 - σ ε 0 T s 4
= ε 0 σ ε a T a 4 - T a 4 + 4 T a 3 T a - T s
= ε 0 σ T a 4 ε a - 1 + 4 σ ε 0 T a 3 T a - T s
Q H是湍流显热通量：
Q H = ρ a C P C H U a T a - T s
式中： ρ a为空气密度（单位： k g ∙ m - 3）； C P为定压比热容， 取1004.67 J kg-1 K-1； C H为感热传输系数， 取0.00167（Li et al， 2015）； U a为风速； Q e是潜热通量， 方向向上。
Q e = ρ a L E S C E U a q a - q 0
由Clausius-Clapeyron方程得饱和水汽压随温度的变化率， d e s d T = L v e s R v T 2； 比湿 q = 0.622 e p a； 假设水汽压在表面是饱和的， 即 e 0 = e S T s； 将 e a表示为 R e s T a； R为相对湿度， 式（14）为
Q e = ρ a L E S C E U a 0.622 p a R e s T a - e s T s = ρ a L E S C E 0.622 p a R e s T a - e s T a + L E S e s T a R v T a 2 T a - T s U a = - ρ a L E S C E 0.622 e s T a p a · 1 - R - L E S R v T a 2 T a - T s U a
式中： L E S为蒸发/升华潜热； C E为潜热传输系数， 取0.00149（Li et al， 2015）； e s T a为对应空气温度下的饱和水汽压； p a为大气压力； R v为干空气气体常数， 287.00 J·kg-1·K-1。
p ν , T P是降水在计算中忽略降水项， 由方程（6）得
Q 0 = Q S 0 + Q L a + Q L 0 + Q H + Q e
将式（9）、 （12）、 （13）、 （15）代入式（16）， 得：
Q 0 = m Q S + ε 0 σ T a 4 ε a - 1 + 4 σ ε 0 T a 3 T a - T s + ρ a C P C H U a T a - T s - ρ a L E S C E 0.622 e s T a p a · 1 - R - L E S R v T a 2 T a - T s U a = m Q S - ε 0 σ 1 - ε a T a 4 - ρ a L E S C E 0.622 e s T a p a ∙ 1 - R U a + 4 ε 0 σ T a 3 T a - T s + ρ a C P C H U a T a - T s + ρ a L E S C E 0.622 e s T a p a ∙ L E S R v T a 2 U a T a - T s
式中： m为吸收系数， 包含冰层对太阳辐射的吸收、 反射和透射作用， 其值受反照率和透射率影响， 计算时取为0.665。
令
                    k 0 = m Q S - ε 0 σ 1 - ε a T a 4 -                              - ρ a L E S C E 0.622 e s T a p a ∙ 1 - R U a
                    k 1 = 4 ε 0 σ T a 3 + ρ a C P C H U a                     + ρ a L E S C E 0.622 e s T a p a ∙ L E S R v T a 2 U a
由式（17）得
Q 0 = k 0 + k 1 T a - T s

2.4.2　湖冰增长期冰厚预报方程

当 Q 0 < 0时， 湖冰处于增长期， 其预报方程为：
ρ L f d h d t = k T f - T s h = - Q 0
因 T s在计算时不易获得， 将式（18）代入式（19）， 用 T f表示 T s：
k T f - T s h = - [ k 0 + k 1 ( T a - T s ) ]
T f - T s = - h k k 0 - h k k 1 ( T a - T s )
T f + h k k 0 + h k k 1 T a = 1 + h k k 1 T s
k k 1 T f + h k 1 k 0 + h T a = k k 1 + h T s
令 b 0 = k 0 k 1 ,   b 1 = k k 1
b 1 T f + b 0 h + h T a = b 1 + h T s
得 T s = b 1 T f + b 0 h + h T a b 1 + h
将式（20）代入式（19）得
ρ L f d h d t = - k 0 h + b 1 + k 1 T a h + b 1 - k 1 b 1 T f - k 1 h T a - k 1 b 0 h h + b 1 = k 1 b 1 T f + k 1 b 0 h - k 1 T a b 1 - k 0 h - k 0 b 1 h + b 1 = T f - T a - b 0 h + b 1
得到基于空气温度Ta 的湖冰厚度预报方程：
ρ L f d h d t = k T f - T a - b 0 h + b 1
取其微分形式： h = h 0 + 1 ρ L f ⋅ k T f - T a - b 0 h + b 1 ⋅ Δ t， 并代入式（3）得
h = h 0 + 2 A 0 2 T f - T a - b 0 h + b 1 ⋅ Δ t

2.4.3　湖冰消融期冰厚预报方程

融化季节开始时， 表面热量平衡为正（ Q 0 ≥ 0）， 冰融化的过程受冰的厚度和平均孔隙率（代表冰的内部融化）的影响：
ρ L f 1 - v ˜ d h d t = - Q 0 + Q w ≤ 0
其中 v ˜是平均孔隙度， 有
ρ L f h d v ˜ d t = 1 - e - k h Q T ≥ 0
h 1 - v ˜是净冰量， Q w是水体和沉积物向冰体传输的热量。
在分析模型中， 融化过程包括在冰厚度（单位面积冰的体积）的变化中， 据式（23）和式（24）， 有：
d d t 1 - v ˜ h = - 1 ρ L f Q 0 + 1 - e - k h Q T + Q w ≤ 0
在融化过程中， 表面热通量可线性化地表示为
Q 0 = k 0 + k 1 T a - T f
将式（26）代入式（25）， 并将式（25）积分， 可得
h = h 0 - 1 ρ L f ∫ 0 t k 0 + 1 - e - k h Q T + k 1 T a - T f + Q w ] d t '
h 0为融化开始时的湖冰厚度。在湖冰融化阶段假设 Q w ~ Q T e - k h， 即水体和沉积物中没有明显的热源， 式（27）可简化为：
h = h 0 - 1 ρ L f ∫ 0 t k 0 * + k 1 T a - T f d t '
此为湖冰消融期冰厚预报方程。

2.4.4　无冰期水温预报方程

在寒冷地区， 秋冬季节气温降低， 湖泊趋向于均匀混合后， 湖面会结冰。地表辐射的减少和湍流热输送的耗散会使湖泊失去热量（Leppäranta， 2014）， 湖泊表面温度的降低会落后于气温， 这由湖水深度决定（Leppäranta， 2010）。在分析模型中， 我们利用水温的降低控制开始冻结时间， 根据观测的水下温度确定了分析模型模拟开始日期2018年10月23日初始水温为3.5 ℃， 选择最大密度处水温1.5 ℃作为开始结冰的阈值。初始水温预报方程为：
d T ˜ d t = Q 0 + Q b ρ 0 c 0 H + Γ H
式中： T ˜为湖泊整层平均温度； Q b为来自湖底的热通量； Γ H为水平平流和水平扩散的影响； ρ 0为湖水密度； c 0为湖水比热容； H为湖泊深度， 计算时取为青海湖平均水深18.3 m。当水温近似为垂直均匀时， 引入一个单层方程， 称之为平板模型。将式（18）代入式（29）得：
d T d t = λ T a - T + r + q b + Γ H
式中： T为湖泊整层水温； λ = k 1 ρ 0 C 0 H， 代表湖泊响应时间； r = k 0 ρ 0 C 0 H， 代表辐射能量的得失。进一步假设 q b = 0 和 Γ H = 0， 代入一阶线性微分方程通解得到式（30）的解为
T t = T 0 e - λ t + ∫ 0 t e - λ t - τ λ T a + r d τ
其中等号右边的积分部分是独立于水温的。

3 模拟过程及结果分析

3.1　冻结系数 A 0 的确定

3.1.1　基于湖表面温度确定的 A 0

2018年11月5 -30日， 观测点湖表面温度在冻结阈值附近上下波动， 11月15 -25日均维持在阈值以下， 11月26 -30日再次升高， 12月1日之后湖表面温度保持在阈值以下直至2019年3月18日［图2（b）］， 此时仅根据原位观测无法确定开始结冰时间。2018年12月3日， 观测点白天MODIS LST 略高于冻结阈值0.85 ℃， 12月11日低于冻结阈值［图2（b）］。观测湖表面温度确定出的开始冻结时间与白天MODIS LST确定的时间范围相近， 因此从12月1日开始计算负积温。利用度日法湖冰生长模型式（6）， 结合青海湖主体边缘15个测飞区域雷达测厚数据以及湖体冻结期表面温度的负积温计算出青海湖各点的 A 0 ( T s )。
冰厚观测集中于三个时间段， 2019年1月30日、 3月1日和3月22日， 1月30日青海湖已完全冻结， 3月22日青海湖尚未开始融化。
1月30日最大冰厚0.464 m出现在青海湖北边2号区域， 计算得到 A 0 ( T s )为2.264 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2； 最小冰厚0.337 m出现在青海湖东南角14号区域， 计算的 A 0 ( T s )为1.634 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2［图3（a）］。1月30日 A 0 ( T s )中位数为2.082 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2， 平均数为2.027 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2（图4）。
图3 2019年1月30日（a）、 3月1日（b）、 3月22日（c）雷达测厚数据在青海湖边缘各点的冰厚情况和对应冻结系数A 0的空间分布情况

圆圈中的数字对应观测点序号， 序号旁边数据自上而下依次为冻结系数［ 单位 : c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2］和冰厚（单位： m）

Fig.3 Spatial distribution of ice thickness and freezing coefficient A0 at each point on the edge of Qinghai Lake from radar thickness measurements on 30 January （a）， 1 March （b） and 22 March 2019 （c）.The numbers in the circles correspond to the number of the observation point， and the data next to the number are， from top to bottom， the freezing coefficient ［unit： c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2］ and the ice thickness （unit： m）

图4 2019年1月30日、 3月1日、 3月22日和总体基于雷达测冰厚度和 S T s计算的青海湖边缘各点冻结系数 A 0 ( T s )的箱形图

Fig.4 Box plots of freezing coefficients A 0 ( T s ) at points on the edge of Qinghai Lake calculated on 30 January， 1 March， 22 March 2019 and overall based on radar-measured ice thickness and S T s

3月1日最大冰厚出现在青海湖西边7号区域， 为0.554 m， 此时 A 0 ( T s )为2.359 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2； 最小冰厚出现在青海湖西南边， 10号区域冰厚为0.295 m， 此时 A 0 ( T s )为1.256 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2［图3（b）］。3月1日采样点个数较1月30日有所增加， A 0 ( T s )跨度较大， 受偏小值影响， 其中位数为1.929 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2， 平均值为1.842 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2（图4）。
3月22日最大、 最小冰厚出现位置与3月1日相同， 分别为7号区域的0.612 m和10号区域的0.375 m， 对应 A 0 ( T s )分别为2.478 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2和 1.519 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2［图3（c）］。3月22日 A 0 ( T s )分布也较为离散， 中位数为2.195   c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2， 平均数为2.059 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2（图4）， 比3月1日整体偏大， 说明3月1 -22日青海湖处于湖冰生长阶段。
三个时段的冰厚和 A 0 ( T s )显示青海湖冰厚和冻结系数 A 0 ( T s )具有明显的空间异质性， 空间异质性大于时间异质性， 即便是地理位置接近的两个测飞区域其冰厚以及 A 0 ( T s )的差异也比较大， 例如同样位于青海湖南边的13、 14号区域， 3月1日和3月22日两次观测两区域冰厚分别相差0.195 m和0.190 m， A 0 ( T s )相差0.835 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2和0.769 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2。再如冰厚比较小的10号区域处在青海湖西南边， 周围观测区域相对密集， 可以看到10号区域的冰厚明显小于周围， 与9号区域的冰厚偏差可达0.17 m左右， A 0 ( T s )相差0.7 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2左右。造成这种差异的原因包括青海湖面积较大， 各个测飞区域的气象环境存在差异， 且各区域的湖泊深度、 离岸边的距离等不同共同造就了湖冰的不同状况。
为了较好地代表青海湖， 基于三个观测时段15个区域共55个采样点的 A 0 ( T s )中位数2.018 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2， 和平均数1.944 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2（图4）， 确定青海湖冻结系数A 0（Ts）为2.0 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2。

3.1.2　基于气温确定的 A 0

利用观测气温代替湖表面温度进行计算， 为得到准确的冻结系数 A 0 ( T a )， 采用湖表面温度确定的2018年12月1日为开始冻结时间进行负积温计算。利用式（7）得到 A 0 ( T a )中位数为1.827 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2， 平均值为1.756 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2， 由此确定基于气温计算的冻结系数 A 0 ( T a )为1.8 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2， 比用湖表面温度计算的 A 0 T s值2.0 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2小， 这是因为气温反算过程中会得到较大的负积温。
运用观测点的湖表面温度和气温计算得到的A 0比以往的研究结果大， 这主要是因为曹娟等（2021）用ERA5气候再分析资料判断出青海湖于2018年11月8日开始冻结， 并确定A 0为0.9~1.56 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2。本研究利用ERA5-Land气温数据， 以-4 ℃为青海湖冻结气温阈值， 判断开始结冰时间为2018年11月5日， 由此计算负积温进而得出A 0中位数为1.187 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2， 平均值为1.231 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2， 和曹娟等（2021）、 汪关信（2020）的研究结果相近。综上， ERA5气温的负偏差使得对开始冻结时间的判断偏早， 导致负积温累积偏大， 因此根据ERA5气温数据获得的A 0比实测气温计算结果更小。

3.2　模拟结果

3.2.1　基于湖表面温度的度日法模拟的冰厚

为验证取中位数的冻结系数 A 0 T s确定为2.0   c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2的合理性， 用度日法式（3）计算冰厚， 从2018年12月1日开始计算负积温。由图6可见模拟的湖冰厚度在2019年1月30日、 3月1日、 3月22日都比较符合雷达测得的冰厚的平均情况， 选取2.0   c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2的 A 0 T s可以反映出青海湖冰厚的平均情况。
图5 青海湖2000 -2017年冻结初日气温（Qi et al， 2019）

Fig.5 Freeze start date air temperature in Qinghai Lake from 2000 to 2017 （from Qi et al， 2019）

图6 2018年10月23日至2019年5月15日度日法和分析模型在青海湖的模拟结果

Fig.6 Simulation results of degree-day method and the analytic model at Qinghai Lake from 23 October 2018 to 15 May 2019

3.2.2　基于气温的度日法模拟的冰厚

用气温代替湖表面温度模拟冰厚， 采用-4 ℃冻结气温阈值计算的负积温 S T a ( - 4 )及1.8 c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2的 A 0 T a在冰厚模拟时也呈现出符合观测的结果， 且优于一般以冻结温度为阈值 S T a ( T f )的判断（图6）。这主要是因为曹娟等（2021）在其研究中， 基于11月多年平均气温-3.72 ℃设定-4 ℃为阈值会使得冻结开始时间大致控制在11月底至12月初的范围内， 对于2018-2019年冰期， 空气温度下降并稳定维持在-4 ℃以下发生在12月3日， 这与湖表面温度观测数据确定的开始结冰时间12月1日非常接近。但是， 青海湖历年冻结过程发生较晚， 冻结初日所对应的气温都比-4 ℃低且波动较大（图5）， 因此-4 ℃阈值的选择具有局限性， 不适用于其余年份或其他湖泊。度日法冰厚模拟的准确程度仍然依赖于湖表面温度确定的开始结冰日期。

3.2.3　分析模型模拟的冰厚

虽然度日法计算过程简单， 但其无法模拟出湖冰消融阶段冰厚变化过程， 且在计算中依赖湖表面温度确定开始结冰日期， 而且仅考虑温度对湖冰生长的影响。然而青藏高原太阳辐射较强， 这很大程度上影响湖冰冻融过程（Lazhu et al， 2021； Cao et al， 2021）， 因此本研究引入考虑到能量平衡过程的分析模型来模拟青海湖湖冰生消过程。由图6可见， 分析模型对湖冰厚度的模拟结果在三个观测时段都较为符合青海湖冰厚平均情况。
分析模型模拟的开始结冰时间为2018年12月16日（图6）， 该日期与观测点情况不同， 由于模型中应用了青海湖平均深度， 它反映了青海湖较大范围的平均冻结情况。由全湖平均和湖泊中间11个点的MODIS LST判断冻结开始应发生在2018年12月3 -19日［图2（b）］。参考青海湖冻结前期的Aqua/MODIS图像［图7（a）~（e）］， 12月1日青海湖周围陆地被雪覆盖， 湖泊北部边缘出现零星冻结， 12月9 -19日青海湖东北部、 北部边缘、 西部边缘、 南部边缘依次出现浮冰。据青海省气象局报道（曹晓云和石明明， 2019）， 2018年12月16日青海湖结冰面积超过湖体面积的10.0%， 封冻期由此开始。2000 -2015年湖冰物候数据显示青海湖平均于每年12月16日开始冻结（Qi et al， 2019）， 2002 -2018年湖冰覆盖率数据也显示青海湖于每年12月20日左右开始冻结（Qiu et al， 2019）， 可见分析模型可以更为准确模拟湖冰初生时间。
图7 青海湖冻结前期和融化过程的Aqua/MODIS图像

Fig.7 Aqua/MODIS images of pre-freezing and melting processes in Qinghai Lake

分析模型模拟的青海湖平均融化结束时间为2019年4月17日（图6）。由全湖平均和湖泊边缘14个点的MODIS LST判断融化结束应发生在2019年4月7 -15日［图2（b）］。Aqua/MODIS图像［图7（f）~（k）］显示青海湖融冰过程较快， 4月5日青海湖冰盖几乎完整， 4月8日青海湖西南部湖面出现较大范围的解冻， 4月10 -16日湖冰解冻过程加速， 16日、 17日除了西部湖面存在少量浮冰外， 青海湖主体部分湖冰已经消融。据青海省气象局报道， 2019年4月16日除海晏湾尚未完全解冻外， 湖泊主体部分基本解冻（赵慧芳等， 2019）。2002 -2018年湖冰覆盖数据（Qiu et al， 2019）显示青海湖于每年4月上中旬结束融化。
由此可见， 与度日法相比， 分析模型由于包含辐射能量对湖泊冻融过程的影响， 它不仅可以模拟出青海湖的结冰过程， 也可以模拟融冰过程。度日法准确模拟湖冰生长过程需依靠湖表面温度确定开始冻结时间， 但分析模型的模拟过程不受限于此， 因此该模型适用于青海湖的湖冰模拟过程。

4 结论

本文基于飞航式雷达湖冰测厚数据、 青海湖气象要素观测数据、 ERA5-Land再分析数据和MODIS地表温度数据及青海湖冰期前后Aqua/MODIS卫星遥感彩色图像， 应用度日法湖冰生长模型和基于能量平衡过程的分析模型对青海湖2018 -2019年冰期进行研究， 得到以下结论：
（1） 在湖冰模拟过程中， 冻结系数A 0的选取非常重要， 通过基于湖表面温度的度日法确定出青海湖 A 0 T s为2.0   c m ∙ ℃ ∙ d - 1 / 2。冻结系数 A 0具有显著的异质性， 且空间异质性大于时间异质性。
（2） 在利用度日法计算A 0的过程中， 利用空气温度代替湖表面温度计算会使得负积温的累计加大， 由此所得到的 A 0 T a偏小。由于ERA5气温存在冷偏差， 由其计算所获的 A 0 T a会更小。
（3） 基于能量平衡发展的湖冰模拟分析模型对于青海湖湖冰生消过程的模拟优于仅考虑温度影响的度日法， 其可在不依赖湖表面温度确定开始结冰日期的情形下， 较好地模拟出青海湖平均的开始结冰时间、 融化结束时间和冰厚情况， 是一种适用于青海湖湖冰模拟的模型。

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