Plateau Meteorology

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2026 , Vol. 45 >Issue 2: 515 - 530

DOI: https://doi.org/10.7522/j.issn.1000-0534.2025.00076

Second-Order Moist Potential Vorticity in Terrain-Following Coordinate and its Application in Improving Numerical Precipitation Prediction

  • Cha YANG , 1, 4 ,
  • Na LI , 2, 3 ,
  • Yuntao HU 1 ,
  • Lingkun RAN 3 ,
  • Xingna ZHAO 1
Expand
  • 1. Xichang Satelite Launch Center，Xichang 615000，Sichuan，China
  • 2. School of Resources and Environmental Engineering of Ludong University，Yantai 264025，Shandong，China
  • 3. Institute of Atmospheric Physics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100029，China
  • 4. College of Computer Science and Technology，National University of Defense Technology，Changsha 410073，Hu’nan，China

Received date: 2024-08-22

  Revised date: 2025-06-27

  Online published: 2025-10-20

Copyright

© Editorial Department of Plateau Meteorology （CC BY-NC-ND）
Fold

Abstract

For the general problem of rainstorm under complex terrain， the use of isobaric coordinates can not accurately analyze and predict the intensity and movement of mountain rainstorm due to the intersection of the lower troposphere isobaric surface and the ground.In order to improve the rainstorm prediction level under complex terrain conditions， it is necessary to develop a set of rainstorm prediction methods under the terrain following coordinate system， which can not only directly reflect the terrain impact in physical quantities， but also avoid the differences in dynamic analysis of different regions caused by terrain in local rectangular coordinates or isobaric coordinates.Taking the second-order moist potential vorticity in the ensemble dynamic factor heavy rainfall forecasting method as an example， this paper studies and attempts dynamic heavy rainfall forecasting under the terrain-following coordinate system.It derives the mathematical form of the second-order moist potential vorticity in the terrain following coordinate system， and then explores the physical information contained in the second-order moist potential vorticity in the terrain following coordinate system and the possibility of improving the precipitation forecast through case analysis and comparison with the second-order moist potential vorticity in the isobaric coordinate system.Furthermore， the analog method is introduced to conduct forecast verification on quantitative precipitation forecasting using the second-order moist potential vorticity in the terrain-following coordinate system.The verification results show that in the ETS score of summer precipitation forecast in 2016 and 2017， The score of precipitation similarity correction method based on topographic second-order moist potential vorticity is higher than that of original forecast precipitation of GFS model.

Key words： terrain following coordinate; second-order moist potential vorticity; anology method; analogous parameter; precipitation forecast improvement

Cite this article

Cha YANG , Na LI , Yuntao HU , Lingkun RAN , Xingna ZHAO . Second-Order Moist Potential Vorticity in Terrain-Following Coordinate and its Application in Improving Numerical Precipitation Prediction[J]. Plateau Meteorology, 2026 , 45(2) : 515 -530 . DOI: 10.7522/j.issn.1000-0534.2025.00076

1 引言

中国地形和地质结构复杂， 地形影响下的降水发展维持机制与预报是我国暴雨研究的重点和难点， 受到国内外学者的重视（陶诗言， 1980； 张文龙等， 2014； 孙继松和舒文军， 2007； House， 2012； 赵玉春和王叶红， 2012）。目前， 复杂地形下的暴雨依然是一个普遍性难题， 这类暴雨通常具有中尺度乃至小尺度的特性， 表现为突发性强、 降水范围小、 短时雨强大等特点， 在较短时间内容易造成严重洪涝灾害， 很难提前做出准确的预警和预报， 以至于常常引发山洪、 泥石流和山体滑坡等气象次生灾害。
地形对降雨的作用主要包括阻挡、 抬升、 地形波等。当气流受地形阻挡时， 降水系统一般停滞少动， 致使降水局地累积增强， 酿成重灾（毕宝贵等， 2006）； 当山地走向与气流风向交角较大时， 气流能够沿坡爬升， 形成迎风坡降雨中心， 使对流加强， 雨量加大（慕建利等， 2009； 陈明等， 1995）， 如遇喇叭口、 峡谷等特殊地形（Jiang， 2006）， 气流辐合突然加强， 抬升加大， 常常引发强烈的降水过程； 地形作用下的地形波或背风波也是山地暴雨形成的重要机制（Nastrom and Fritts， 1992）， 高大山地的背风波经常处于气流的辐散下沉区成为暴雨的低频中心， 但当稳定气流过山时， 山地重力波随之发展， 配合一定的水汽条件， 形成类似Wave-CISK反馈机制（许焕斌， 1992）； 地形还能够影响云微物理过程， 引起云中液态水含量及降水粒子增长方式的变化， Colle and Zeng （2004）研究发现大地形导致水质粒子增长事件加长并降落在迎风坡， 小地形使得水质粒上升事件缩短并直接落在背风坡， 地形宽度减小有利于形成过冷水和霰， 凝结核自动转化的雨水增多， 从而使地面降水增强； 此外， 地形以及大中尺度环流系统共同作用， 或仅受局地地形作用影响， 所激发的垂直上升运动及云/雨水含量较大区域位置存在差异（王思懿等， 2022）。
目前， 针对地形降水预报主要依赖高分辨的数值模式以及卫星雷达的观测外推。但降水尤其是有地形影响的降水是非常复杂的物理过程， 数值模式中的参数化方案具有一定的主观性和经验性， 造成数值模式降水预报存在很大的不确定性。虽然卫星、 雷达的观测外推是暴雨临近预报的重要工具， 但外推预报多是基于天气系统的线性发展， 且预报时效短， 而复杂地形下的暴雨系统的发展和移动都具有很强的非线性特征， 故观测外推还不能很好地满足其对时效性和准确性的迫切需求。为了能够在现有的技术条件下提高暴雨预报水平， 许多研究者从暴雨产生的物理机制出发研究和发展了动力暴雨预报方法， 赵强等（2017）对两次陕北暴雨过程的热力动力机制进行诊断分析发现， 广义对流涡度矢量很好地描述了高低空急流耦合作用造成垂直风切变的增大及中低层水汽相变的凝结潜热释放增强的锋生作用， 有利于深对流云发展及暴雨的产生， 对暴雨预报有参考价值。高守亭等（2013）基于非均匀饱和湿大气理论（Gao et al， 2004； Gao and Cao， 2007）及中尺度波流相互作用理论（Ran and Li， 2014）将对暴雨有明确指示意义的动力因子如广义位温、 热力螺旋度、 对流涡度矢量及波作用密度等物理量进行集合， 研究发现利用集合动力因子得到的降水预报的ETS评分高于模式本身的降水预报。周冠博和高守亭（2014）用不同类型暴雨实例， 检验了二阶位涡对暴雨落区的预报效果， 表明二阶位涡对不同类型的暴雨均有较好的预报和指示作用， 主要是因为降水区辐合上升运动将低层相对小的位涡带到上空， 高层相对大的位涡带到低层， 从而增大了暴雨区中层的位涡梯度。胡素琴等（2022）在对比分析南疆西部干旱区两次极端暴雨过程中发现， 二阶湿位涡高值区与降水的发展演变呈现较高一致性， 主要因为二阶湿位涡不仅包含了大气中的垂直风切变、 湿斜压性、 垂直涡度和对流稳定度等动热力信息， 还包含了它们的梯度， 而梯度本身的非均匀性（二阶梯度）也是二阶湿位涡区别于其它物理诊断参数（如广义湿位涡、 Q矢量等）的典型特点。上述研究表明， 对于暴雨预报的物理量因子， 二阶湿位涡因包含了热力、 动力及水汽等物理信息及其梯度变化， 更能够表征强降水的发生， 因此本文主要从二阶湿位涡着手分析。
现在国内外的数值天气预报模式多采用地形追随坐标， 与直角坐标系相比， 其下边界条件简单， 便于引入地形对大气的影响， 但数值模式预报输出的数值产品和实际分析大部分都还是采用等压坐标， 仍然存在对流层低层等压面与地面相交的问题， 从而不能准确分析和预报山地暴雨强度和移动。而用于天气诊断和预报的物理量， 例如， 广义位涡（Liang et al， 2010）， 广义螺旋度（Gao et al， 2007）， 都是定义在局地直角坐标系或等压坐标系内， 地形因子无法直观地体现在这些物理量中。岳彩军等（2007）通过湿Q矢量散度与垂直速度的关系发展了一种湿Q矢量释用技术， 得到的湿Q矢量释用降水场对有无降水及10 mm以上降水预报明显高于其所依赖的数值模式的定量降水预报， 但该技术在研究湿Q矢量释用技术过程中， 将下边界定为1000 hPa且假定垂直速度为0， 没有考虑地形抬升和地表摩擦作用， 可能会影响可降水量的计算。谢越等（2024）在一次天山南脉暴雨过程的地形敏感性研究中指出， 天山南脉地区近地层爬流作用强于绕流， 又因为其偏东西的走向， 使得广义位温的经向梯度强于纬向梯度， 且地形的扰动会通过改变爬流的垂直切变以及广义位温的水平梯度来影响位势稳定度的变化。因此， 有必要发展一套地形追随坐标系下的暴雨预报方法， 以避免局地直角坐标或等压坐标中因地形导致的不同区域动力分析的差异性， 提高复杂地形条件下的暴雨预报水平， 对现阶段使用的数值模式降水预报进行有益的补充。基于此， 本文以集合动力因子暴雨预报方法中的二阶湿位涡为例， 对地形追随坐标系下的动力暴雨预报进行了研究， 同时引入相似法， 对在地形追随坐标系下利用二阶湿位涡进行定量降水预报进行尝试， 并给出评估结果。

2 资料介绍

本文用于物理量分析的资料为2013年夏季来自美国国家环境预报中心（National Centers for Environmental Prediction， NCEP）的全球数值天气预报模式（Global Forecast System， GFS）分析场资料， 预报场资料及相似订正资料为2016年、 2017年夏季的GFS预报场资料。GSF资料时间分辨率为每日4个时次（00:00、 06:00、 12:00、 18:00， 世界时， 下同）， 空间分辨率为0.5°×0.5°（约50 km）， 垂直层次26层， 预报场的预报时效为24 h（1 d）； 所用的降水实测资料为中国气象局地面6 h降水常规观测资料， 插值到0.5°格点上。文中使用的地图是基于中华人民共和国自然资源部地图技术审查中心标准地图服务系统下载的审图号为GS（2019）1822号的中国地图制作， 底图无修改。

3 地形追随坐标系下的二阶湿位涡

3.1　二阶湿位涡

湿位涡是研究低涡发生、 发展的重要物理量， 其不仅表征大气热、 动力属性， 还考虑水汽作用（杨秀梅等， 2023）。二阶湿位涡是在位涡、 湿位涡及二阶位涡（Gao et al， 2004； Ertel， 1942； Gao et al， 2014）基础上发展的包含位涡梯度的物理量。二阶湿位涡（Li et al， 2016）的定义为：
S = - g ( f k + ∇ p × v ) ⋅ ∇ p Q
式中： v = u , v , w为三维速度矢量； u为纬向速度； v为经向速度； w为垂直速度； g为重力参数。
广义位涡：
Q = - g ( f k + ∇ p × v ) ⋅ ∇ p θ *
式中： θ * = θ e x p L v q s c p T c q v q s k为广义位温； θ = T p s p R / c p为位温； T为温度； R为气体常数； c p为定压比热； L v为凝结潜热； T c为对流抬升高度的温度； q s为水汽饱和比湿； q v为水汽比湿； k为经验常数； ∇ p = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ p k为 p坐标系下的三维梯度算子。
由式（1）和（2）可发现， 二阶湿位涡和广义位涡具有相似的形式， 广义位涡是涡度矢量点乘广义位温梯度， 而二阶湿位涡是涡度矢量点乘广义位涡梯度。广义位涡是在非均匀饱和湿大气动力框架下通过广义位温代替位涡中的位温而提出， 和传统位涡相比， 广义位涡因包含了能够描述降水过程中降水大气的非均匀饱和状态而对降水落区有良好指示意义。将广义位涡进行分解， 写为如下形式：
Q = - g - ∂ v ∂ p ∂ θ * ∂ x + ∂ u ∂ p ∂ θ * ∂ y + ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y + f ∂ θ * ∂ p
可见广义湿位涡综合包含了大气中的垂直风切变、 斜压性、 垂直涡度和对流稳定度等动热力信息， 而二阶湿位涡提出的重要意义在于通过广义位涡梯度不仅包含了这些动热力信息本身， 还包含了它们的梯度， 既体现了大气的一阶不连续性还包含了物理信息的二阶梯度。Li et al（2016）将二阶湿位涡用于一次华北暴雨的诊断发现相比于广义位涡， 二阶湿位涡能够更好地区分降水大气与非降水大气的动热力特性， 对降水有更好地指示意义， 因而本文以二阶湿位涡为例对地形追随坐标系下物理量的降水诊断进行了进一步研究。

3.2　地形追随坐标系下的二阶湿位涡

地形追随坐标是迄今为止使用最为普遍的一种垂直坐标， 其主要优势在于： 底边界易于数学处理和编程实现， 对于连续场的刻画较好； 不会发生与地形相交问题， 而且允许垂直非等距分层， 对加热日变化、 低层风湿场、 湍流及静力稳定度等都有较好描述（程锐等， 2024）。本文采用中尺度数值模式WRF中的地形追随坐标系， 其垂直坐标为：
η = p - p t μ
式中： μ = p s - p t， 为地形因子； p s为地面气压； p t为上边界气压； p为气压。
进一步， 引入不同坐标系之间转换的矢量法则：
∂ F ∂ p = ∂ F ∂ η ∂ η ∂ p
∂ F ∂ s η = ∂ F ∂ s p + ∂ F ∂ η ∂ η ∂ p ∂ p ∂ s η
式中： F代表风场、 温度、 湿度等基本场； s代表水平坐标x或y。利用上述矢量法则， 能够将局地直角坐标系中的物理量形式转换到地形追随坐标系下。
为了将二阶湿位涡转化到地形追随坐标系下， 利用矢量法则式（5）和式（6），
S η = - g - ∂ v ∂ η ∂ η ∂ p ∂ Q η ∂ x - ∂ q η ∂ η ∂ η ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ u ∂ η ∂ η ∂ p           ∂ Q η ∂ y - ∂ Q η ∂ η ∂ η ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ v ∂ x - ∂ v ∂ η ∂ η ∂ p ∂ p ∂ x - ∂ u ∂ y           + ∂ u ∂ η ∂ η ∂ p ∂ p ∂ y + f ∂ Q η ∂ η ∂ η ∂ p = - g ∂ η ∂ p           - ∂ v ∂ η ∂ Q η ∂ x + ∂ u ∂ η ∂ Q η ∂ y + ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y + f ∂ Q η ∂ η       = - g / μ ( f k + ∇ η × v ) ⋅ ∇ η Q η
式中： ∇ η = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ η k为地形坐标系下的三维梯度算子； Q η则为地形追随坐标系下的广义位涡， 其可通过将式（2）进行转化得到， 即：
Q η = - g - ∂ v ∂ η ∂ η ∂ p ∂ θ * ∂ x - ∂ θ * ∂ η ∂ η ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ u ∂ η ∂ η ∂ p           ∂ θ * ∂ y - ∂ θ * ∂ η ∂ η ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ v ∂ x - ∂ v ∂ η ∂ η ∂ p ∂ p ∂ x - ∂ u ∂ y           + ∂ u ∂ η ∂ η ∂ p ∂ p ∂ y + f ∂ θ * ∂ η ∂ η ∂ p = - g ∂ η ∂ p           - ∂ v ∂ η ∂ θ * ∂ x + ∂ u ∂ η ∂ θ * ∂ y + ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y + f ∂ θ * ∂ η       = - g / μ ( f k + ∇ η × v ) ⋅ ∇ η θ *
对比式（2）和式（8）可见， 地形追随坐标系下的广义位涡和二阶湿位涡与p坐标系下的两个物理量具有相似的形式， 均是涡度与位温梯度或位涡梯度的点积， 但地形追随坐标系下的广义位涡及二阶湿位涡包含了地形因子 μ， 这也是不能将p坐标系下的两个物理量形式直接应用于地形追随坐标系中计算的原因。

4 地形追随坐标系下的二阶湿位涡与降水

利用2013年7月21日发生在我国西部山区的一次强降水过程说明地形追随坐标系下的二阶湿位涡对降水过程的描述能力， 所用资料为GFS分析场资料及中国气象局地面6 h降水常规观测资料。图1为7月21日12:00 -18:00（北京时， 下同）和21日18:00至22日00:00的6 h累积降水量及降水区周围的地形分布。7月21日12:00 -18:00［图1（a）］， 降水呈东北-西南走向的带状分布， 自陕西、 宁夏、 甘肃三省（区）交界区域向西南延伸至四川西北部， 降水带中自西向东地形高度变化显著， 从四川西北部的4.5 km高度逐渐降至1.5 km高度左右， 且强降水中心位于地形高度梯度明显的甘肃东南部（34°N， 104°E左右）， 降水强度达60 mm·（6h）-1。7月21日18:00至22日00:00降水带略有东移， 出现两个强降水中心， 西南侧降水中心位于地形高度变化显著的四川盆地边缘， 降水强度达75 mm·（6h）-1， 东北侧降水中心则位于陕西、 甘肃、 宁夏三省（区）交界的区域， 降水强度达60 mm·（6h）-1。图2为地形追随坐标系下7月21日降水过程的天气尺度环流形势。由图2可知， 7月21日的这次降水过程是在高空急流［图2（a）］、 中低层切变线［图2（b）］和低空急流［图2（c）］的共同配合下形成的。如图2（a）， η=0.2786高度上（约对应p坐标下的200 hPa高度）， 中纬度37°N -45°N之间为两个风速高于30 m·s-1的高空急流带， 受其影响， 四川中部、 甘肃南部地区为明显的气流辐散区。对流层低层［图2（c）］， η=0.7960高度上（约对应p坐标下的850 hPa高度）， 降水带中为一条东北-西南走向的切变线， 切变线南侧为具有顺时针切变的低空急流， 其一方面为降水区提供源源不断的暖湿气流输送， 另一方面与来自青藏高原北侧的西北气流交汇， 形成低层辐合。高空急流入口区右侧的辐散配合低层风场切变造成的辐合有利于强上升运动的发展和维持， 为降水提供了良好动力条件， 而来自青藏高原的干冷气流与切变线南侧的低空急流对峙， 则为降水的发生发展创造了良好的热力不稳定条件， 加之降水区附近强烈的水汽通量辐合［图2（d）］， 降水在青藏高原东部边缘发展起来。为了说明地形在本次降水过程中的作用， 图3还给出了p坐标下700 hPa和500 hPa的风场及形势场。根据图3可知， 7月21日的暴雨过程不仅与高低空天气系统的配置有关， 地形的阻挡作用与中层低槽的配合也为降水发展提供了有利条件。如图3（a）， 700 hPa高度上， 20°N - 25°N之间为副热带高压伸向内陆的高压脊， 在其作用下， 气流发生顺时针切变进入我国西南地区， 而在青藏高原大地形的阻挡下， 高压脊和大地形之间的气流明显加速， 形成一条强风速带， 将低纬的暖湿气流带入降水区。同时， 500 hPa高度上， 高原槽引导青藏高原北侧的气流南下侵入降水区， 从而形成了中层干冷、 低层暖湿的热力配置， 有利于强降水的触发和维持。
图1 2013年7月21日12:00 -18:00（a）、 21日18:00至22日00:00（b）观测的6 h累积降水量（等值线， 单位： mm）地形高度（填色， 单位： km）

Fig.1 Observed 6 h accumulated rainfall （contour， unit： mm） and terrain height （shading， unit： km） from 12:00 to 18:00 on July 21， 2013（a）， from 18:00 on July 21 to 00:00 on July 22， 2013（b）

图2 2013年7月21日18:00地形追随坐标系下η=0.2786高度上的风场（矢量， 单位： m·s-1）和超过30 m·s-1的风速的区域（彩色区， 单位： m·s-1）（a）， η=0.6766高度上的广义相当位温（彩色区， 单位： ℃）和风场（矢量， 单位： m·s-1）（b）， η=0.7960高度上的风场（矢量， 单位： m·s-1）和超过8 m·s-1的风速（彩色区， 单位： m·s-1）（c）， 水汽通量（矢量， 单位： g·cm-2·s-1）及水汽通量散度（彩色区， 单位： ×10-8 g·cm-2·hPa-1·s-1）（d）红色椭圆为风场辐合区， 黑色粗实线为切变线

Fig.2 The distributions of horizontal wind vectors （vector， unit： m·s-1） and wind speed exceeding 30 （color area， unit： m·s-1） at η=0.2786 （a）， generalized potential equivalent temperature （color area， unit： ℃） and horizontal wind vectors （vector， unit： m·s-1） at η=0.6766 （b）， horizontal wind vectors （vector， unit： m·s-1） and wind speed exceeding 30 （color area， unit： m·s-1） at η=0.7960 （c）， water vapor flux （vector， unit： g·cm-2·s-1） and water vapor flux divergence （color area， unit： ×10-8 g·cm-2·hPa-1·s-1） at η=0.7960 （d） in terrain-following coordinate at 18:00 on Jul 21， 2013.The red ellipse represents the wind field convergence area， and the thick black solid line denotes the shear line

图3 2013年7月21日18:00 p坐标下700 hPa（a）和500 hPa（b）的风场（矢量， 单位： m· s-1）及位势高度场（蓝色实线， 单位： 10 gpm）

（a）中彩色区为风速大于8 m·s-1的强风速区， 海拔超过3000 m区域无数据

Fig.3 The horizontal distributions of wind vector （vector， unit： m·s-1） and geopotential height（blue lines， unit： 10 gpm） in p coordinate 700 hPa （a）， 500 hPa（b） at 18:00 on July 21， 2013.The colored areas in （a） represent horizontal wind speed greater than 8 m·s-1.There is no data in areas with an altitude exceeding 3000 m

为了说明地形追随坐标系下的二阶湿位涡对2013年7月21日这次降水过程的描述能力， 图4首先给出了对流层中低层η=0.7960~0.5174高度上（约对应平原地区p坐标下的850~500 hPa高度）二阶湿位涡绝对值的垂直积分 S η（ S η = ∫ η = 0.7960 η = 0.5174 S η d η）的水平分布。相比于单层分布， 采用物理量绝对值的垂直积分一方面能够避免不同高度上物理量符号差异造成的上下层信息互相抵消的问题， 更多地将大气中对降水有利的动热力信息包含进来， 同时也能够避免将近地面层地形陡峭地区由于坐标转换引起的误差包含到诊断分析中。如图4所示， 7月21日的降水过程中， 地形追随坐标系下的二阶湿位涡 S η的高值区基本覆盖了观测降水区， 其在降水区中表现为强信号， 在非降水区中则为弱信号， 且随着降水区的东移加强， S η高值区同样东移增强， 这表明地形追随坐标系下的二阶湿位涡对地形降水有较好的指示能力， 能够抓住大气中低层对降水有利的关键动热力信息。
图4 2013年7月21日18:00（a）、 7月22日00:00（b）的地形追随坐标系下的二阶湿位涡（单位： ×10-10 m2·K·s-2·kg-2·Pa）其中彩色区为6 h累积降水（单位： mm）

Fig.4 The horizontal distributions of second-order moist potential vorticity （unit： ×10-10 m2·K·s-2·kg-2·Pa） in terrain following coordinate， 18:00 on July 21， 2013（a）， 00:00 on July 22， 2013（b）.The colored areas represent 6 h accumulated rainfall （unit： mm）

地形追随坐标系下二阶湿位涡能够在降水区中出现显著异常的原因可通过其所包含的大气动热力信息及与p坐标系下二阶湿位涡的对比进行分析。参考Li et al （2016）进行量级分析， 保留起主要贡献的部分， 地形追随坐标系下和p坐标系下的二阶湿位涡分别为：
S η ∼ S η 1 = - g μ 2 ζ 2 ∂ ∂ η ∂ θ * ∂ η
S ∼ S 1 = - g ζ 2 ∂ ∂ p ∂ θ * ∂ p
由式（9）和式（10）， 地形追随坐标系下的二阶湿位涡包含的主要物理信息与p坐标系下的二阶湿位涡相似， 二者均反映了垂直涡度与对流稳定度垂直梯度的耦合， 从公式形式看， 二者的区别主要在于是否包含地形因子 μ， 但在诊断地形附近与降水相关的物理过程方面， 二者则有显著差别。图5为2013年7月21日18:00地形追随坐标系下和p坐标系下二阶湿位涡 S η的水平分布。由图5可以看出， 二者在甘肃地区强降水区上空的异常值分布及强度相似， 这和二者包含的物理信息相似是一致的， 但对于四川西北部的弱降水区（30°N -34°N之间的雨带）， 地形追随坐标系下的二阶湿位涡表现出明显异常， 而p坐标系下的二阶湿位涡则未出现异常信号。进一步， 图6给出了7月21日18:00经过四川西北部雨带（112.5°E）的两种湿位涡的垂直剖面， 其中红色框为两种不同坐标系中的降水诊断关键区。在图6（a）中， 红色框包含对流层中低层（地形追随坐标系下η=0.8~0.52时， 对应p坐标系下为850~500 hPa）， 对应了图4中的垂直积分层次。如图6（a）， 地形追随坐标系下降水区上空30°N -33°N之间红色框内地形二阶湿位涡出现明显异常高值区， 强正值中心叠加于负值中心之上， 这也是水平方向上垂直积分的二阶湿位涡在四川西北部能够较好覆盖降水区的原因。同时注意到， 图6（a）中降水区的η=0.88层次以下的近地面层及η=0.48层次以上的高层也出现了二阶湿位涡强中心， 而未将该部分异常包含在诊断分析中是因为近地面层， 尤其是地形陡峭地区， 坐标转换往往存在较大误差， 地形二阶湿位涡的强中心往往和这些误差有关， 而非真正对降水有直接作用的信息； 高层地形二阶湿位涡强中心则一般和高空急流对应， 但高空急流本身并不直接作用于降水， 而主要为降水提供有利的高层通风条件。对比图6（b）， p坐标系下二阶湿位涡在降水区上空同样有正负值交替的异常高值区出现， 但其强度明显低于地形追随坐标系下的二阶湿位涡， 且其正值区分布在较高层次（300~400 hPa）， 而我们通常所关注的红色框内（850~500 hPa）仅有较少的负值分布， 这使得 S η未能在降水区中表现出明显异常［图5（b）］。
图5 2013年7月21日18:00地形追随坐标系下（a）和p坐标系下（b）的二阶湿位涡 彩色区为6 h累积降水（单位： mm）

Fig.5 The horizontal distributions of second-order moist potential vorticity， in terrain-following coordinate（a）， in p coordinate（b） at 18:00 on July 21， 2013.The colored areas represent 6 h accumulated rainfall（unit： mm）

图6 2013年7月21日18:00沿112.5°E地形追随坐标系下（a）和p坐标系下（b）计算的二阶湿位涡（等值线， 单位： ×10-15 m2·K·s-2·kg-2）与6 h累积降水（绿色柱状， 单位： mm）红色方框为降水诊断关键区

Fig.6 The vertical cross section of second-order moist potential vorticity （contour， unit： ×10-15 m2·K·s-2·kg-2） and 6 h accumulated rainfall （green columnar， unit： mm） in terrain-following coordinate （a）， in p coordinate （b） along 112.5°E at 18:00 on July 21， 2013.The red box designates the key area for precipitation diagnosis

从两种坐标系下二阶湿位涡所包含的物理信息出发， 能够更为显著看出两个物理量的区别。图7为两种坐标系下二阶湿位涡的主分量及所包含的涡度场及广义位温的垂直分布。图7（a）， （b）中， S η 1和 S η与图6（a）在红色框内的分布相似， 同样， 图7（b）中 S 1和 S与图6（b）在红色框内的分布相似， 表明式（9）给出的两种二阶湿位涡的主分量是合理的， 因此对 S η 1和 S 1更为细致的分析也同样能够反映 S η和 S本身包含的大气动热力学特点。图7（c）和图7（d）分别为 S η 1和 S 1中的涡度场垂直分布。两种坐标系中， 涡度场在降水区上空（30°N -33°N）均表现为强正涡度柱， 地形追随坐标系下［图7（c）］正涡度柱集中在η=0.88~0.4， p坐标系下［图7（d）］正涡度柱位于600~250 hPa。从图2中的形势场分布可看出， 正涡度柱反映的是中层低槽及低空风场切变等这些对降水有利的动力信息特征。除了涡度场， 二阶湿位涡的另一重要信息是对流稳定度垂直梯度， 反映了大气在垂直方向上的热力非均匀性。地形追随坐标系下［图7（e）］， 广义位温在降水区呈现为典型的漏斗状分布， 说明降水区附近大气高温高湿的特性， 垂直方向上广义位温随高度而增大， 垂直梯度存在明显变化。在我们关注的关键区内， η=0.8~0.72时340~344 K等值线之间广义位温垂直梯度较小， 这和大气低层的干侵入过程［如图2（c）， （d）的高低空配置和图3的天气形势所示］稀释了降水区的高温高湿空气有关， 而η=0.72~0.63时广义位温垂直梯度显著增大， 说明这种干侵入造成的广义位温垂直梯度随高度的增大较好地反映在二阶湿位涡垂直分布上， 如图6（a）， 二阶湿位涡在η=0.8~0.72时呈现强负值区。对比图7（f）， 红色框内850~500 hPa高度上， 由于等压面与地面相交， 广义位温并未出现明显的二阶非连续性， 二阶湿位涡［图7（b）］也未出现明显异常。这也表明， 在地形追随坐标系下， 地形附近与降水相关的物理过程能够更好地反映在动力因子中， 从而提高动力因子对降水的指示能力。
图7 2013年7月21日18:00沿112.5°E地形追随坐标系下（左）和p坐标系下（右）计算的二阶湿位涡分量 S η 1（a， 等值线， 单位： ×10-15 m2·K·s-2·kg-2）， S 1（b， 等值线， 单位： ×10-15 m2·K·s-2·kg-2）， 垂直涡度（c， d， 等值线， 单位： ×10-5 s-1）， 广义位温（等值线， 单位： k）和垂直风矢量（蓝色矢量， 单位： m·s-1）（e， f） 绿色柱状为观测的6 h累积降水（单位： mm）， 红色方框为降水诊断关键区

Fig.7 The vertical cross section of second-order moist potential vorticity components S η 1（a， contour， unit： ×10-15 m2·K·s-2·kg-2）， S 1（b， contour， unit： ×10-15 m2·K·s-2·kg-2）， vertical vorticity（c， d， contour， unit： ×10-5 s-1）， generalized potential temperature（contour， unit： K） and vertical wind vector（blue vector， unit： m·s-1）（e， f）in terrain-following coordinate（left column）， and in p coordinate （right column） along 112.5°E at 18:00 on July 21， 2013.The green columnars represent 6 h accumulated rainfall， and the red box designates the key area for precipitation diagnosis

5 地形追随坐标系下二阶湿位涡在降水预报中的应用

以上分析表明地形追随坐标系下的二阶湿位涡能够反映与地形降水有关的关键动热力信息， 且在高地形条件下的降水诊断方面更具优势。如何将这种优势应用于地形降水预报的改进是本文要探讨的另一个问题。以往将二阶湿位涡等动力因子应用于降水预报通常采用的方法是多元线性回归， 通过长时间序列的动力因子与观测降水建立线性回归方程， 再将其应用于降水预报。该方法简便易实现， 但建立的动力因子和降水的回归关系是线性的， 且可移植性较低， 当系统进行升级或改进后， 预报效果往往会明显降低。
由于模式误差（包括系统误差和随机误差）是限制数值模式降水预报效果的主要因素之一， 包括初始条件、 大气物理和化学过程的参数化过程、 模式本身计算方案的设计及简化等引起的误差， 这些偏差常常导致模式降水出现空报、 漏报等。为此， 有研究者期望能够对模式偏差本身进行预报， 并利用预报出的模式偏差对原有预报作出订正， 改进模式本身的预报。基于该思想， Monache et al（2011）提出一种相似性预报法， 其认为当模式的两个不同时刻的预报场相似时， 二者的模式预报偏差也是相似的， 而对于历史预报， 因误差是已知的， 从而能够通过历史预报误差推断当前预报误差， 并对当前预报作出订正。将该方法应用于地面10 m风场的预报， 预报效果较模式本身预报提高显著。
从相似性预报法的基本思想出发， 该方法不仅适用于风场订正， 对降水同样可能存在订正效果， 而其关键在于如何从历史预报资料中找到与当前预报场相似的时刻从而得到对当前预报场准确的误差估计。Monache et al（2011）在进行地面10 m风场的预报时采用了地面10 m风速和风向以及与风场有关的地面气压、 湿度和地面温度等作为相似物理量， 通过对比当前预报时刻与历史预报时刻的这些物理量场挑选与当前预报时刻最为相似的时刻。这也表明， 在选择相似物理量时不仅要从预报量本身着手， 还应考虑和预报量有关的形势场配置、 预报量的形成机制等。相比于风场， 降水产生过程要复杂得多， 需要大气宏观条件的合理配置， 如低层辐合、 高层辐散， 大气不稳定， 大气斜压性等， 同时需要积云及云微物理过程直接制造降水， 因此， 为了通过相似法获得降水预报订正， 除了模式降水本身， 还需要其他能够体现降水宏观特征的物理量用于挑选相似预报场。结合本文研究， 地形追随坐标系下的二阶湿位涡综合包含大气风场、 温度场和湿度场， 不仅能够体现降水产生时的大气动热力学特点， 还将这些信息耦合在一起， 能够在一定程度上描述强降水过程中常常存在的干侵入过程以及风场切变等。为此， 参考Monache et al （2011）， 本文将模式降水与地形追随坐标系下的二阶湿位涡作为相似物理量， 定义相似矩阵如下：
F t , A t ' = 1 σ P i P t - A P t ' 2 + 1 σ S i S t - A S t ' 2
式中： F t为时刻 t的预报场； A t '为历史时刻 t '的预报场； P t为时刻 t的模式降水预报； A P t '为历史时刻 t '的降水预报； σ P i为利用所有历史时刻计算的模式降水的标准差； S t为时刻 t的预报场计算的二阶湿位涡； A S t '为历史时刻 t '的的预报场计算的二阶湿位涡； σ S i二阶湿位涡标准差， 其中标准差的引入是为了使两个相似物理量单位一致。根据式（11）， 相似矩阵值越小， 表明时刻 t和 t '的预报场相似度越高。利用该相似矩阵， 从历史时段中挑选 N a个相似度最高的时次（即将所有历史时刻的相似矩阵从小到大排序并挑选前 N a个时刻）得到时刻 t的降水偏差 A E t：
A E t = ∑ i = 1 N a r i E i , t i
式中： E i , t i = O i , t i - P i , t i为挑选的第 i个相似时刻的降水偏差， 为第 i个相似时刻的降水观测 O i , t i与降水预报 P i , t i之差， r i为第 i个相似时刻的降水偏差所占权重。
r i = 1 F t , A i , t i / ∑ j = 1 N a 1 F t , A j , t j
相似度越高， 所占权重越高。进一步， 通过降水偏差对当前降水预报进行订正， 即：
A P t = A E t + P t
利用2016年和2017年夏季GFS预报场资料和我国6 h观测降水对上述以地形二阶湿位涡为基础的降水相似订正法进行检验。图8为2016年7月17日发生在我国西北、 西南地区的一次降水过程。从图8（a）可以看出， 7月17日18:00至18日00:00累积的观测雨带呈“人”字形， 有两个强降水中心分别位于陕西和山西的交界处［强度为35 mm·（6h）-1以上］及湖北省中部［强度为50 mm·（6h）-1以上］， 陕西南部、 四川东部及重庆一带为两个弱降水中心［强度分别为15 mm·（6h）-1及20 mm·（6h）-1以上］。图8（b）为GFS模式对该时次降水的24 h预报， 与图8（a）相比， GFS模式基本预报出了本次降水分布， 但强度还有待提高。陕西和山西交界地区的降水中心模式预报强度约为60 mm·（6h）-1， 较观测偏强， 而湖北省中部的降水中心模式预报强度约为20 mm·（6h）-1以上， 较观测明显偏弱， 另外， 模式对于陕西南部-四川东部-重庆一线的两个降水中心的预报也偏弱。利用以地形二阶湿位涡为基础的相似法进行订正后， 如图8（c）， 湖北省中部的降水中心强度明显增强， 约为35 mm·（6h）-1以上， 接近观测， 陕西南部-四川东部-重庆一线的两个降水中心强度也提高到接近观测的强度。
图8 2016年7月17日18:00至18日00:00观测降水（a）， GFS模式24 h降水预报（b）， 相似法订正后的24 h降水预报（c）（单位： mm）

Fig.8 Observed 6 h accumulated rainfall（a）， 6 h accumulated rainfall for 24 h by the GFS model（b）， 6 h accumulated rainfall corrected by the anology method（c） from 18:00 on July 17 to 00:00 on July 18， 2016（unit： mm）

图9为2017年6月9日发生在中国西南、 华中地区的一次降水过程。与观测值相比［图9（a）］， GFS模式对湖北中部及江苏、 安徽、 浙江、 江西四省交界处的两个降水中心的预报强度明显偏低［图9（b）］， 而经过相似订正法改进后， 湖北中部的降水中心强度明显提高， 接近观测值［图9（c）］。
图9 2017年6月9日00:00-06:00观测降水（a）， GFS模式24 h降水预报（b）， 相似法订正后的24 h降水预报（c）（单位： mm）

Fig.9 Observed 6 h accumulated rainfall（a）， 6 h accumulated rainfall for 24 h by the GFS model（b）， 6 h accumulated rainfall corrected by the anology method（c） from 00:00 to 06:00 on June 9， 2017（unit： mm）

图10进一步给出了2016年和2017年夏季中国华北地区（110°E -125°E， 30°N -45°N）和西南地区（95°E -110°E， 18°N -33°N）大于10 mm和20 mm的24 h预报6 h累计降水的ETS评分（红色线表示GFS模式预报降水， 蓝色虚线为相似法改进后的降水）。结合表1中整个夏季的平均ETS评分可以看出对于大于10 mm·（6h）-1和20 mm·（6h）-1的降水， 经相似法订正后的降水预报评分略高于GFS模式原始预报降水评分， 对于30 mm·（6h）-1和40 mm·（6h）-1的强降水落区， 相似法订正后降水较模式原始降水预报也均有提高。
图10 2016年6月2日06:00至9月17日18:00（共431个时间点）（a~d）和2017年6月2日06:00至7月31日18:00（共243 个时间点）（e~h）华北地区（a~b， e~f）、 西南地区（c~d， g~h）大于10 mm（左）和20 mm（右）的GFS模式（红线）和相似法改进（蓝虚线）的24 h预报6 h累积降水的ETS评分

Fig.10 The ETS scores of 6 h accumulated rainfall for 24 h forecasts by the GFS model （red line） and the improved analog method （blue dashed line） for precipitation greater than 10 mm （left） and 20 mm （right） in North China （a~b， e~f） and Southwest China （c~d， g~h） during the periods： from 06:00 on June 2， 2016 to 18:00 on September 17， 2016 （with a total of 431 time points）（a~d） and from 06:00 on June 2， 2017 to 18:00 on July 31， 2017 （with a total of 243 time points）（e~h）

表1 2016年6月2日06:00至9月17日18:00和2017年6月2日06:00至7月31日18:00华北地区和西南地区大于10 mm、 20 mm、 30 mm、 40 mm的24 h预报6 h累计降水的平均ETS评分

Table 1 The average ETS scores of 6 h accumulated precipitation for 24 h forecasts with precipitation amounts greater than 10 mm， 20 mm， 30 mm， and 40 mm in North China and Southwest China during the periods from 06:00 on June 2， 2016 to 18:00 on September 17， 2016， and from 06:00 on June 2， 2017 to 18:00 on July 31， 2017

时间 区域 预报降水 平均ETS
10 mm 20 mm 30 mm 40 mm
2016年6月2日06:00至9月17日18:00 华北地区 GFS模式降水预报 0.078 0.039 0.022 0.012
相似法改进降水预报 0.104 0.052 0.029 0.015
西南地区 GFS模式降水预报 0.057 0.033 0.019 0.012
相似法改进降水预报 0.086 0.049 0.029 0.018
2017年6月2日06:00至7月31日18:00 华北地区 GFS模式降水预报 0.077 0.035 0.016 0.012
相似法改进降水预报 0.095 0.045 0.023 0.017
西南地区 GFS模式降水预报 0.079 0.037 0.021 0.011
相似法改进降水预报 0.111 0.059 0.026 0.017
对照图10（e）中GFS模式预报明显高于订正预报的时次， 图11给出了2017年6月17日12:00 -18:00降水的24 h预报。图11（a）中显示华北地区无明显降水， 而GFS模式预报［图11（b）］在河北地区出现部分降水， 订正后［图11（c）］， 北京、 河北西部也出现了弱降水， 出现明显空报。造成该结果的原因， 从相似因子-二阶湿位涡角度， 主要与二阶湿位涡对大气水汽和水汽梯度特征响应敏感， 模式预报的降水出现空报后， 订正法以二阶湿位涡为相似因子， 遍历的历史相似个例均是具有湿大气特征的过程， 也更为容易出现空报。在后续研究中， 可通过增加相似因子， 优化相似算子改善该问题。
图11 2017年6月17日12:00 -18:00观测降水（a）， GFS模式24 h降水预报（b）， 相似法订正后的24 h降水预报（c）（单位： mm）

Fig.11 Observed 6 h accumulated rainfall （a）， 24 h rainfall forecast by the GFS model（b）， 24 h rainfall forecast corrected by the anology method（c） from 12:00 to 18:00 on June 17， 2017（unit： mm）

6 结论

地形影响下的降水发展维持机制与预报是我国暴雨研究的重难点， 从暴雨系统发生发展必备的水汽、 抬升和不稳定条件出发的集合预报方法等与模式降水预报互补， 在地形复杂地区的良好应用对于提高复杂地形下的降水预报具有积极意义。由于数值模式预报输出的数值产品和实际分析大部分都还是采用等压坐标， 仍然存在对流层低层等压面与地面相交的问题， 不能准确分析和预报山地暴雨强度和移动。本文以集合动力因子暴雨预报方法中的二阶湿位涡为例， 既能够将地形影响直接体现在物理量中， 又能避免局地直角坐标或等压坐标中因地形导致的不同区域动力分析的差异性， 主要结论如下：
（1） 推导了二阶湿位涡在地形追随坐标系下的数学形式， 其不仅表征了降水大气的热、 动力属性和水汽作用及其梯度变化， 还包含了地形效应因子， 能够更好地区分降水大气与非降水大气的动热力特性， 对降水有良好指示意义。
（2） 通过分析2013年7月21日发生在我国西部山区的一次强降水过程的二阶湿位涡分布、 垂直速度、 广义位温及垂直风矢量等， 表明地形追随坐标系下的二阶湿位涡能够反映与地形降水有关的关键动热力信息， 且在高地形条件下的降水诊断方面更具优势。
（3） 考虑地形二阶湿位涡对降水大气物理过程的表征能力， 将其作为相似因子， 应用于模式降水订正。利用2016年和2017年夏季GFS预报场资料进行检验， 平均ETS评分结果表明： 对于大于10 mm·（6h）-1和20 mm·（6h）-1的降水， 经订正后的降水预报评分略高于GFS模式原始预报降水评分， 对于30 mm·（6h）-1和40 mm·（6h）-1的强降水落区， 订正后降水较模式原始降水预报均有提高。
本文研究了地形追随坐标系下的二阶湿位涡在改进降水预报中的初步应用情况， 主要是针对GFS模式预报场的改进和评估， 后续在历史数据库允许的情况下还可将其应用于高分辨率模式（如WRF）降水预报的订正。根据上述应用情况， 例如图10（e）， 发现相似性方法对模式的过度预报改进效果更佳， 但在部分非降水时刻可能存在空报，但在部分非降水时刻依然存在空报情况。特别需要指出的是， 相似性算法的应用效果与相似因子的选取和样本库有密切关系， 本文是以二阶湿位涡单因子作为相似因子， 后续工作还可纳入更多因子定义相似算子， 如对流涡度矢量、 垂直螺旋度等， 从而更全面挖掘大气的相似性特征， 优化空报问题； 另外， 还可进一步增加样本数量， 从而涵盖更多降水类型和降水的演变特征， 进一步提高预报技巧。

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