高原气象

高原气象 >

2020 , Vol. 39 >Issue 3: 609 - 619

DOI: https://doi.org/10.7522/j.issn.1000-0534.2020.00004.

论文

雨滴下落过程模型雏形的建立

  • 蒋强 , 1 ,
  • 卞建春 2 ,
  • 李艳 , 1
展开
  • 1. 兰州大学大气科学学院，甘肃 兰州 730000
  • 2. 中层大气和全球环境探测实验室，中科院大气物理研究所，北京 100029
李艳（1983 -）， 女， 河南南阳人， 教授， 主要从事干旱气候与灾害气象研究. E-mail:

蒋强（1996 -）， 男， 重庆铜梁人， 硕士研究生， 主要从事干旱气候与灾害气象研究. E-mail:

收稿日期: 2019-09-27

  修回日期: 2020-02-25

  网络出版日期: 2020-06-28

基金资助

国家重点研发计划项目(2018YFC0406602)

收起

Establishment of Model Prototype of Raindrop Dropping Process

  • Qiang JIANG , 1 ,
  • Jianchun BIAN 2 ,
  • Yan LI , 1
Expand
  • 1. School of Atmospheric Sciences of Lanzhou University，Lanzhou 730000，Gansu，China
  • 2. Laboratory of Middle Atmosphere and Global Environment Detection，Institute of Atmospheric Physics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100029，China

Received date: 2019-09-27

  Revised date: 2020-02-25

  Online published: 2020-06-28

Fold

本文亮点

雨滴下落过程是云降水物理研究中极为重要的一个部分， 其研究涉及到蒸发过程和雨滴末速度问题。在静止大气中， 对于单个云滴， Maxwell理论给出了粒子在凝结过程中的质量增长公式， 而本文研究雨滴的下落过程， 是与凝结过程相反的蒸发过程。基于Maxwell理论， 将雨滴假定为球形粒子， 对原方程进行差分求解， 并加入通风效应与表面效应对Maxwell理论就行修正。在雨滴末速度问题上， 本文采用2015年昆明站的探空资料， 将雨滴直径（>1 μm）分为三个部分， 在忽略了雨滴短暂的加速过程后， 考虑拖曳力 F D与重力 F g平衡进行讨论， 用最小二乘法拟合得出初始高度的末速度与半径的关系， 再结合部分假设和理论推导得到任意高度的末速度与半径的函数关系。最后， 利用该模型， 针对相对湿度做了敏感性实验， 发现雨滴所处环境的相对湿度变小会明显加快小雨滴的蒸发。本文基于Maxwell理论等前人研究， 加入部分假设得到了一个较为合理的包含了蒸发过程的雨滴下落模型， 对还原真实大气中雨滴的下落过程有一定参考价值。

本文引用格式

蒋强 , 卞建春 , 李艳 . 雨滴下落过程模型雏形的建立[J]. 高原气象, 2020 , 39(3) : 609 -619 . DOI: 10.7522/j.issn.1000-0534.2020.00004.

Highlights

As an essential part of physical process on cloud and precipitation， the falling process of raindrops is mainly related to evaporation and raindrop fallspeed.For a single cloud droplet in the stationary atmosphere， Maxwell's theory produces the mass growth formula of particles during the condensation process.In this study， the falling process of raindrops focuses on the evaporation process rather than the condensation process.Based on Maxwell’s theory， raindrops are assumed to be spherical particles， to produce its drop process by solving the original equation solved with difference method， and modifying the Maxwell theory by adding effects of ventilation and surface.For the issue of raindrop fallspeed， using the sounding data of Kunming station in 2015， the raindrops sample are divided into three groups according to different diameter (>1 μm).Neglecting the short acceleration process of raindrops， the balance between drag force and the gravity is considered for discussion.The relationship between the fallspeed and radius at the initial height is obtained by fitting with the least square method.And then the functional relationship between the fallspeed and radius at any height is obtained by combining some assumptions and theoretical derivation.Finally， several sensitivity experiments on relative humidity are tested by using this model.The result shows that decreasing the ambient relative humidity will accelerate the evaporation of small raindrops.Based on Maxwell's theory and other previous studies， this paper has obtained a more reasonable raindrop falling model by considering evaporation process through some assumptions， which is helpful to represent the realistic falling process of raindrops better.

1 引言

水是生命之源， 大气中的降水关乎人们的生产生活， 影响着全球水资源的分布以及对全球水循环有着重要影响。影响降水的三个因素是： 充足的水汽、 促使水汽抬升的上升运动和足够的云凝结核（朱乾根等， 2000）。对雨滴下落微物理过程的研究是对降水机制的重要探索， 为雨滴谱的建立提供理论参考， 也可用以解释一些云降水物理研究中的观测现象和估算云滴的大小。雨滴下落过程中的蒸发过程是云降水物理中一个重要研究部分， 蒸发过程对大气水汽和热循环也有着重要影响。而雨滴的尺度、 速度是揭示云降水物理的两个重要参量， 也是准确认识与评估陆面过程、 土壤侵蚀的关键， 甚至与天气雷达的地面标定、 导航和通讯系统有关。
在19世纪末国外有了对雨滴的早期研究, Bashforth et al（1883）从理论上分析了雨滴内部的流体静力学。之后， Lenard（1904）进行风洞试验， 指出雨滴变形的关键因素是内部应力和表面张力。Davies(1945)研究了降水粒子在低密度条件下的下落末速度。Spilhaus(1948)认为大雨滴的形变是由于空气阻力造成的， 且雨滴的形状可以近似为椭球形。李其琛等（1964）对雨滴下落过程滴谱和雨的雷达反射率的变换研究， 得出雨滴从云底落至地面的过程中小雨滴由于蒸发变小， 而大雨滴则蒸发较慢。自20世纪80年代， 开始采用数值模式来研究雨滴的下落过程, 吴兑（1991）做了雨滴在云下蒸发的数值实验， 认为广州地区小雨滴（半径小于0.3 mm）明显不足的现象与蒸发过程有关。刘雅君（2001）从数学物理方法的角度对雨滴下落的末速度进行了研究， 认为落到地面的半径大于2 mm的雨滴是实际存在的， 半径为2.5 mm的雨滴的末速度约为11.2 m·s-1， 从2000 m的高空落到地面约需3 min。贾星灿等（2008）对宁夏地区的实测降水资料分析指出， 雨滴下落过程中， 大的雨滴蒸发明显。张宇等（2013）对雨滴下落过程的雨滴谱的数值模拟， 分析指出蒸发作用对小雨滴的耗散比大雨滴大。黄一民等（2018）对洞庭湖流域的下落雨滴蒸发的研究， 认为气温、 湿度及雨滴大小是影响下落雨滴蒸发的主要因子。武威等（2019）分析了2017年河南沙颍河流域的一次大范围雨雪天气的降水相态， 并用微波辐射计、 风廓线雷达等测得的高时间分辨率资料对其进行了精细化分析， 提出了一系列雨雪转化的判据。马宁堃等（2019）用Ka波段毫米波雷达功率谱来反演雨滴谱的分布， 指出雨滴谱的反演对大气垂直速度十分敏感。
对于云滴凝结增长的研究， Maxwell理论是公认的经典理论。这个理论系统地探讨了在相对静止空气中单个云滴的质量增长过程， 也即凝结过程， 揭示了云滴的增长与其所处的相对湿度场、 温度场和气压场有明显的关系（Dennis et al， 2011）。在分析了质量增长定律后， 发现要研究雨滴的蒸发过程， 实际上只是相对湿度场从饱和状态到干燥的一个过程， 雨滴的质量也会随之不断减少， 现在仅是对质量增长律的逆用。
目前， 国内从微观角度对雨滴下落过程的研究比较少， 且现有的研究大多数以数值模拟的形式进行， 大部分并没有考虑雨滴的蒸发， 而实际上蒸发过程又相当重要。另外， 在研究过程中一个关键的问题就是雨滴末速度的计算。国内的卫星和雷达对雨滴末速度的观测非常少。雨滴的末速度依赖于粒径的大小， 由于雨滴下落过程中会不断地蒸发， 所以雨滴的末速度在不断地变化。因此， 在建立雨滴下落模型时有必要考虑雨滴末速度在不同高度上的变化。
本文旨在建立一个包含蒸发过程的雨滴下落模型， 主要对初始粒径为25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600和3200 μm的雨滴进行研究， 在缺乏实际降雨观测资料的情况下， 从Maxwell理论出发， 建立模型来初步探讨雨滴的下落过程。在借鉴前人的研究并总结归纳的基础上， 本文的研究对于更好认识雨滴下落的微物理过程有一定理论参考意义。

2 资料选取与方法介绍

2.1　资料选取

选取昆明站（102.65°E， 25.03°N， 海拔1.889 km）2015年8月7日SWOP（Sonding of Water vapor Ozone and Particle）的探空资料， 假设雨滴的初始高度为5.033 km（此处及下文提到的高度均为海拔高度）， 提取地面到5.033 km的高度、 温度、 气压和相对湿度数据作为原始资料。本文采用Savitzky-Golay法、 利用5阶多项式对温度和相对湿度进行平滑处理， 以得到更为合理的相对湿度和温度廓线。

2.2　方法介绍

假定在相同的时间间隔（0.1 s）内， 雨滴的末速度不发生改变， 由拟合与理论推导得到的任意高度的末速度公式结合牛顿运动定理求得雨滴所处高度， 这样就可以由实际的探空资料插值出此高度的相对湿度、 温度和压强， 再结合Maxwell理论及加入通风效应和表面效应对其修正的模型， 得到雨滴的半径。由于在研究中把雨滴假定为球形雨滴， 所以对于粒径较大的雨滴而言， 已经产生较大的形变， 前人从风洞实验出发， 考虑了雨滴的形变， 得出了末速度的相关公式。所以本文继续使用这些公式来计算初始高度的末速度， 拟合得出的公式也考虑了形变的影响。最后对相对湿度场做敏感性实验。

3 Maxwell理论和初始高度末速度

3.1　 Maxwell理论

Dennis et al（2011）认为， 对于单个云滴的凝结增长过程， 首先云滴经历质量输送过程， 即水汽通过扩散不断地从环境空气中输送到云滴表面， 在此过程中由Fick第一定律引入扩散系数 D v。然后云滴经历表面过程， 即水汽发生相变有潜热的释放， 加热云滴和附近的空气从而建立起温度梯度， 同时水汽沉积到云滴表面建立浓度梯度驱动扩散。最后云滴经历能量输送过程， 即水汽相变潜热释放后， 这部分能量传导到远离云滴的空间， 借助Fourier第一热传导定律引入热传导系数 k T。在整合了这三个过程后得到最终的质量增长定律， 即：
d m d t = 4 π r ρ G ( S - 1 )，
式中： m为雨滴的质量（单位： kg）； t为时间（单位： s）； r为雨滴的半径（单位： m）； ρ为雨滴的密度， 取1000 kg·m-3； S为环境空气的相对湿度。参数G（单位: m2∙s-1）的算法参考Ulrike et al（2016）进行计算：
G = ρ l v k T l v R v × T - 1 + 1 D v × ρ v s - 1  ，
其中
l v = 2500 - 2.4 t × 10 3，
ρ v s = e s R v T，
式中： l v为凝结潜热（单位： J∙kg-1）； T为开尔文温度（单位： K）； R v=461.5 J∙(kg∙K)-1, 为水汽气体常数； k T为热传导系数； D v为扩散系数； ρ v s为饱和水汽密度（单位： kg·m-3）； t为摄氏温度（单位： ℃）； e s为饱和水气压（单位： Pa）。其中， k T 、 D v和 e s的计算公式可参考Ulrike et al (2016)的文献。
假定雨滴为球形， 则雨滴的质量 m = 4 3 π r 3 ρ， 带入原微分方程并做简化得蒸发方程：
d r 2 d t = 2 G S - 1，
从G的表达式可以看出， G是关于温度T的函数， 而雨滴在下落过程中所处的环境场（包括相对湿度场和温度场）一直在变化， 所以上面的微分方程没有解析解， 因此采用线性插值的方法进行差分求解。

3.2　初始高度末速度

对雨滴进行受力分析发现， 雨滴受到三个力的影响， 即重力 F g、 拖曳力 F D和浮力 F B， 其中 F g = ρ v g， F B = ρ a i r v g（ ρ a i r = 1.29 kg·m-3， 为空气的密度； v为雨滴的体积； g为重力加速度）， 所以 F g F B = ρ ρ a i r ≈ 1000 1.29 ≈ 10 3， 因此一般忽略浮力的影响， 雨滴的运动方程主要由拖曳力和重力的关系来决定。在初始时刻重力与拖曳力并不平衡， 由牛顿第二定律可知， 雨滴会经历一个加速过程， 然后重力与拖曳力维持平衡， 雨滴速度达到最大， 则称该速度为末速度 V p。事实上该加速过程经历的时间很短， 所以一般忽略此过程， 直接根据拖曳力与重力之间的平衡求解末速度。
本文着重对直径D大于1 μm的雨滴进行讨论， 将雨滴直径分为三个区域， 即1<D≤30 μm、 30<D≤1000 μm和D>1000 μm， 采用Dennis et al（2011）文献中提到的方法计算初始高度的末速度：
（1） 当1≤D≤30 μm时，
V p = 1 18 ρ g μ D 2，
其中,
μ = μ 0 T 288.15 3 / 2 288.15 + B T + B，
式中： V p为雨滴的末速度(单位： m∙s-1)； D为雨滴的直径（单位： m）； μ为空气的动力粘性系数（单位： m2∙s-1）； μ 0=1.7894×10-5, 为15 ℃的粘度； B为与气体种类有关的常数， 这里取空气对应的值110.4。
（2） 当30<D≤1000 μm时,
V p = μ ρ a i r N R e D，
式中： ρ a i r为空气的密度， 不为常数； N R e为雷诺数。
从上面的公式可以看出， 末速度的计算关键在于雷诺数计算。在实际计算雨滴的末速度时， 拖曳力系数 C D是未知的， 也没有好的方法对其进行测量， 所以为了避免计算 C D， 可以引入Davies数( N D a)来计算雷诺数。Davies数包括了诸多物理变量， 它既能计入空气的密度和粘性的影响， 又能计入雨滴的大小和密度的影响。具体的计算方法和公式可查看Dennis et al（2011）的文献。
（3） 当D>1000 μm时, 雨滴末速度的计算公式与上一区域相同， 但雷诺数的算法完全不同。在这一区域， 雨滴直径较大， 末速度也较大， 增加了球形雨滴下部驻点处的动压， 使得雨滴下半部变平， 最终使得雨滴的形状像汉堡一样， 雨滴的表面张力也发生了改变。大雨滴发生形变的过程极其复杂， 现在还没有任何理论能计入形变过程中的所有效应， 所以通过引入Bond数和physical-property数来考量形变对末速度带来的影响。此区域的Bond数( N B o)由如下公式计算：
N B o = g ρ D 2 σ L V ~ F g F s f c，
其中,
σ L V = 75.796 - 0.145 t - 0.00024 t 2，
式中： σ L V为表面张力系数（单位： N∙m-1）； F s f c为表面张力（单位： N）； t为环境的温度（单位： ℃）。
从式（10）可以看到， Bond数是雨滴重力和表面张力的大小的相对度量， 重力变化不大时， 大 N B o要求小表面张力， 因而 N B 0能在一定程度上表征雨滴的形状。其他的关于 N R e和physical-property数( N P P)的具体计算公式可查看Dennis et al（2011）的文献。

4 雨滴下落过程的蒸发模拟

先拟合初始高度的末速度公式。取初始半径为0.5， 2， 5， 10， 15， 20， 25， 50， 75， 100， 200， 300， 400， 500， 800和1600 μm的雨滴， 利用Dennis et al（2011）提出的相关公式计算出初始高度的末速度， 画出末速度 V P  与半径r（单位： μm）的散点图， 对数据取双对数后， 再用二次多项式对散点进行拟合， 最后得出公式：
V p r = e x p   - 0.08423 l n   r 2 + 2.246 l n   r - 8.956
将半径r换为直径D， 得出雨滴在高空5.033 km处末速度 V p与直径D的关系， 取双对数坐标（图1）。
图1 初始高度雨滴的末速度 V p与直径D的关系

Fig.1 The relationship between the fallspeed V p and diameter D of raindrops at initial height

4.1　逆用Maxwell理论以及对相对湿度场做敏感实验

取初始半径为25， 50， 100， 200， 400， 800， 1600和3200 μm的雨滴来模拟蒸发过程。记原相对湿度场为S， 再取0.7倍的S来研究相对湿度场的改变对雨滴蒸发过程的影响。下面推导雨滴下落过程的末速度：
由于拖曳力 F D = 3 π μ D V p C D N R e 24， 当1<D≤30 μm（Stokes流）时， C D N R e 24 ≈ 1， 雨滴的重力 F g = m g = π 6 ρ g D 3， 假设重力与拖曳力维持平衡， 则：
V p = 1 18 ρ g μ D 2 C D N R e 24，
又因为 N D a = 4 3 ρ g ρ a i r μ 2 D 3， 所以
V p = μ N R e ρ a i r 1 D，
将 μ N r e D视为常函数， 由 V p / V p 0得雨滴在下落过程中任意高度的末速度：
V p = ρ a i r 0 ρ a i r V p 0，
又因为 V p 0 = V p ( r )， 故
V p = ρ a i r 0 ρ a i r e x p   [ - 0.08423 l n   r 2 + 2.246 l n   r - 8.956 ]
式中： ρ a i r为下落过程中任意高度的空气的密度（单位： kg∙m-3）； ρ a i r 0为初始高度空气的密度（单位： kg∙m-3）； r为任意高度雨滴的半径（单位： μm）。
用公式（15）得到初始高度的末速度后， 假设雨滴在 Δ t = 0.1    s时间间隔内做匀速运动， 在两个不同时刻的半径分别为 r 0、 r 1， 以及对应的高度分别为 h 0、 h 1， 则由牛顿运动定理得到雨滴所处的新高度 h 1 = h 0 - V p 0 Δ t， 再结合公式（5）得雨滴半径变化的差分方程：
r 1 2 - r 0 2 = 2 G S - 1 Δ t，
由于相对湿度S总是小于等于1的， 所以雨滴半径总是减小的， 可以用来模拟雨滴的蒸发过程。对于半径为 r 1的雨滴， 现在仅需求得它在下一时刻的高度 h 1便可以插值得到该高度上的温度、 压强和相对湿度， 进而得到参数G的值， 这样就可以得到 h 1高度上雨滴的半径。然后再以 r 1为初始半径， 重复以上过程， 一直到雨滴蒸发完（假设当雨滴半径r<1 μm时即蒸发完）或者落到地面为止。
相对湿度场为S的蒸发模拟结果如图2所示。分析图2(a)~(h)发现， 对于初始半径为25 μm的雨滴， 在下落了约4.5 min后蒸发完， 下落速度十分缓慢， 处于cm∙s-1的量级， 相对湿度和温度场（下称环境场）变化不大。对于初始半径为50 μm的雨滴， 在下落了约31 min后蒸发完， 末速度有所增大， 达到dm∙s-1的量级， 环境场变化不大， 垂直温度直减率约0.6 ℃∙hm-1。对于初始半径为100 μm的雨滴， 在下落了约25 min后蒸发完， 末速度较小， 蒸发较慢， 相对湿度则约下降了5%， 温度约升高了5 ℃。对于初始半径为200 μm的雨滴， 在下落了约33 min后蒸发完， 环境场有了比较明显的改变， 但仍旧没有落到地面。对于初始半径为400 μm的雨滴， 在下落了约14.5 min后落到地面， 雨滴的半径减小了约30 μm， 蒸发量明显减小， 初始高度上的末速度约4.4 m∙s-1。对于初始半径为800 μm的雨滴， 在下落了约6 min后落到地面， 初始高度的末速度约9 m∙s-1， 雨滴半径减小了约6 μm， 仅有少量的蒸发， 环境场有显著的变化。对于初始半径为1600 μm的雨滴， 在下落了约3 min后落到地面， 环境场的变化显著， 雨滴半径仅减小约1.5 μm， 基本没有蒸发， 下落过程的末速度较大， 落地面时末速度接近15 m∙s-1。对于初始半径为3200 μm的雨滴， 在下落了约90 s后落到地面， 环境场的变化显著， 雨滴的半径几乎不变， 可以认为没有蒸发， 落到地面的末速度接近29 m∙s-1。
图2 相对湿度为S时不同初始半径雨滴下落过程的蒸发模拟

Fig.2 Evaporation simulation of raindrop dropping process with different initial radius when the relative humidity is S

所以总的来说， 对于小雨滴(r<200 μm)而言， 下落过程中的蒸发量大， 不能降落到地面。对于中等雨滴（200 μm< r <800 μm）而言， 绝大部分蒸发量较少， 能落到地面。对于大雨滴（r >800 μm）而言， 均能落到地面， 有少量蒸发或者认为没有蒸发。从上面的分析也可以看出， 从初始半径400 μm的雨滴开始， 雨滴都能落到地面， 相对湿度场和温度场的变化越来越明显， 同时由于雨滴下落速度太大， 它很快落到地面， 来不及蒸发。但这里没有计入水汽、 能量的传输效率和雨滴与环境空气的相对运动对环境场带来的改变等因素的影响， 所以仍然不符合实际的雨滴下落过程。
为了探究原始的相对湿度场发生变化时， 会给雨滴的蒸发带来怎样的影响， 给出相对湿度场变为0.7S时的模拟结果（图3）。
图3 相对湿度变为0.7S时不同初始半径雨滴下落过程的蒸发模拟

Fig.3 Evaporation simulation of raindrop dropping process with different initial radius when the relative humidity becomes 0.7S

对比图2和图3， 发现雨滴所处的相对湿度场对雨滴的蒸发过程是有一定影响的。从初始半径为25， 50， 100和200 μm的模拟结果来看， 蒸发速度大大加快， 比如对初始半径为200 μm的雨滴， 蒸发时间约从2000 s变到了700 s。从初始半径为400， 800， 1600和3200 μm的模拟结果来看， 落到地面的总蒸发时长没有太大的改变， 说明相对湿度场的影响不是特别明显。原因可能还是在于这些雨滴的下落速度大， 来不及蒸发， 即使相对湿度场有了明显变化， 这本来就少的蒸发并不会受到太大影响。所以， 雨滴所处的空气越干， 蒸发越快， 且雨滴越小， 影响越大。

4.2　计入通风效应以及对相对湿度场做敏感性实验

在实际雨滴下落过程中， 由于雨滴的密度比它所处的环境空气的密度大， 所以会产生相对于环境空气的下沉运动。当雨滴穿越空气时， 会改变其附近的相对湿度场与温度场， 从而建立起新的水汽浓度梯度， 影响蒸发通量。实际上若把雨滴当作参照物， 则环境空气相对于雨滴在运动， 相当于雨滴在下落过程被通风， 被通风的程度取决于雨滴下落的末速度。在真实的大气中， 能降落到地面的雨滴直径一般会大于1 mm， 它的末速度大， 通风效应不能被忽略。所以用原来的Maxwell理论来模拟雨滴的蒸发过程， 实际上是忽略了雨滴下落时对其附近环境场的扭曲作用， 对真实落到地面的雨滴的模拟会产生较大的误差。所以现计入通风效应来模拟蒸发过程， 以期更加接近真实大气中雨滴的蒸发过程。
同样, 选取初始半径为25， 50， 100， 200， 400， 800， 1600和3200 μm的雨滴， 定义整体通风系数 f ¯， 现在只需要对原始的质量增长方程进行如下修改：
d m d t = 4 π r ρ f ¯ G ( S - 1 )，
式中： f ¯由雷诺数 N R e来计算， 具体的计算方法和公式可详见Dennis et al（2011）的文献。假设雨滴为球形， 简化后得到计入通风效应后的蒸发方程：
d r 2 d t = 2 G f ¯ S - 1，
模拟原理同上文一致， 对计入通风效应的蒸发方程就行差分求解， 图4是计入通风效应且相对湿度场为S的模拟结果。
图4 计入通风效应且相对湿度场为S时不同初始半径雨滴下落过程的蒸发模拟

Fig.4 Evaporation simulation of raindrop dropping process with different initial radius when the effect of ventilation is taken into account and the relative humidity is S

分析图4(a)~(h)， 发现对于初始半径为25， 50， 和100 μm的雨滴， 从下落时间上考虑， 相比于未计入通风效应前， 均略微加快了蒸发。对于初始半径为200 μm的雨滴， 在下落了约31 min后在大概3250 m的空中蒸发完， 比未计入通风效应前提前了约500 m就已蒸发完， 通风效应不能被忽略。对于初始半径为400， 800， 1600和3200 μm的雨滴， 从雨滴半径变化（蒸发通量）因素来看， 通风效应越来越显著。
综合以上分析， 对于小雨滴而言， 通风效应并不明显， 可以忽略。对于中等雨滴而言， 通风效应有一定的影响， 不能忽略。对于大雨滴而言通风效应是显著的， 需要计入。因为中等雨滴和大雨滴的末速度较大， 在下落时扭曲了温度场和湿度场， 扭曲的环境场又反过来影响蒸发过程， 且末速度越大， 扭曲的程度越大， 到了一定程度便不可忽略。
计入通风效应后， 相对湿度场对雨滴的蒸发过程的影响并没有发生变化， 我们同样发现雨滴所处相对湿度场对雨滴的蒸发过程是有一定影响的。特别是从初始半径为400 μm的雨滴的模拟结果来看（图略）， 若相对湿度场为S， 雨滴降落到了地面， 但若相对湿度场为0.7S， 则雨滴未降落到地面就已经蒸发完了。因而空气越干， 蒸发越快， 且雨滴越小， 影响越大。

4.3　计入表面效应以及对相对湿度场做敏感性实验

在云滴的凝结增长过程中， 水汽从环境中输送到云滴的表面， 但不是所有的水汽都100%的被云滴所吸收。比如， 一些水汽分子撞击到云滴的表面， 一部分被云滴所吸收成为云滴的一部分， 还有一部分重新释放到环境中。凝结潜热也是如此， 一部分用以加热云滴， 还有一部分加热远离云滴表面的环境， 那么这里就存在能量的输送效率问题。虽然水汽和空气分子在云滴表面的相互作用的相当复杂， 而且目前还没有理论能解释清楚， 但是我们仍然需要考虑这些过程。所以我们对能量、 质量的传输效率就行修正， 引入质量调节系数 α m来表征水汽分子被云滴所吸收， 同时引入能量调节系数 α T来表征能量的输送。那么， 雨滴的蒸发过程只不过是水汽从雨滴表面离开输送到环境中、 从环境中吸收能量的一个逆过程， 所以对扩散系数 D v和热传导系数 k T进行修正， 以期得到更加合理的雨滴下落模型。
首先对扩散系数 D v（单位： m2∙s-1）（Dennis et al， 2011）进行如下修正：
D v 1 = D v r r + Δ + 4 D v α m c ¯ v r，
式中： 取 α m = 0.06； Δ为跃迁距离（单位： m）； c ¯ v为平均分子速度（单位： m∙s-1）； r为雨滴半径（单位： m）； 又因为 Δ = c λ， c为比例常数， 取Cunningham平滑修正的结果c=0.7，   λ为空气分子平均自由程（单位： m）：
λ = k B T 2 π d 2 P，
式中： k B为玻尔兹曼常数， 取 k B = 1.38 × 10 - 23； T为摄氏温度； P为压强； d为空气分子的有效直径（单位： m）， 取3×10-10。
平均分子速度 c ¯ v由如下公式计算：
c ¯ v = 8 R T π M ω 1 / 2，
式中： R=8.3144为普适气体常数[单位： J∙(mol∙K)-1]； M ω = 18 × 10 - 3为水的摩尔质量（单位： kg∙mol-1）。
再对热传导系数 k T[单位： W∙ (m∙K)-1]（Dennis et al， 2011）进行修正， 得到 k T 1：
k T 1 = k T r r + Δ + 4 k T α T c ¯ a i r n a i r c p r,
式中： 取 α T = 0.7  ； n a i r为空气的摩尔浓度； c p为空气的定压热容[单位： J∙(kg∙K)-1]， 取1005； c ¯ a i r为空气分子的平均速度（单位： m∙s-1）。 c ¯ a i r与 n a i r的计算公式可参照Dennis et al (2011)的文献。
蒸发过程的模拟原理同（4.1）节中的方法一致， 只是参数G应做相应的修正， 得到G1（单位： m2∙s-1）（Ulrike， 2016）。
G 1 = ρ l v k T 1 l v R v × T - 1 + 1 D v 1 × ρ v s - 1，
简化后得到需要的蒸发方程：
d r 2 d t = 2 G 1 S - 1，
图5为计入表面效应后， 相对湿度场为S的模拟结果。对比图2与图5， 发现对于初始半径为25 μm的雨滴， 在下落约5 min后蒸发完， 相比之下， 雨滴滞后了约1 m就蒸发完了， 由于末速度十分缓慢， 可以认为表面效应明显， 阻碍了雨滴的蒸发。对于初始半径为50 μm的雨滴， 雨滴滞后了约10 m蒸发完， 但由于末速度提高了一个量级， 可以认为表面效应比较明显。对于初始半径为100， 200， 400， 800， 1600和3200 μm的雨滴， 表面效应对蒸发过程基本没有太大影响。
图5 计入表面效应且相对湿度场为S时不同初始半径雨滴下落过程的蒸发模拟

Fig.5 Evaporation simulation of raindrop dropping process with different initial radius when the influence of surface effect is taken into account and the relative humidity is S

综合上面的分析， 仅对于很小的雨滴而言， 表面效应才是显著的， 阻碍着雨滴的蒸发， 不能忽略， 对于大雨滴而言， 表面效应对蒸发过程影响极小或者认为没有影响。
计入表面效应后， 从模拟结果来看（图略）， 相对湿度场对蒸发过程的影响依然不变： 相对湿度场对蒸发过程的影响是正向的， 在其他条件相同的情况下， 雨滴所处的空气越干， 越有利于蒸发， 且雨滴半径越小， 影响越大。

4.4　同时计入表面效应和通风效应以及对相对湿度场做敏感性实验

同样选取初始半径为25， 50， 100， 200， 400， 800， 1600和3200 μm的雨滴， 时间间隔为0.1 s， 整合4.1、 4.2、 4.3节中的模拟原理， 得出如下质量增长公式（Dennis et al， 2011）：
d m d t = 4 π r ρ f ¯ G 1 ( S - 1 )，
同样设雨滴为球形， 简化得到需要的蒸发方程：
d r 2 d t = 2 G 1 f ¯ S - 1，
式中： G 1由公式（23）来计算。为了比较同时计入表面效应和通风效应对蒸发过程的影响， 还需要计算G， 而G由公式（2）来计算。
图6是同时计入表面效应和通风效应， 且相对湿度场为S的模拟结果。 对比图6与图2， 很显然， 对初始半径为25 μm的雨滴， 即便同时计入了通风效应和表面效应， 蒸发完的高度仍然有所滞后， 此时两个效应的共同作用结果是阻碍雨滴的蒸发。对于50 μm的雨滴， 两个效应的共同作用结果是雨滴的蒸发基本没有滞后也没有提前。对于初始半径为100， 200， 400， 800， 1600和3200 μm的雨滴， 两个效应的共同作用结果是使雨滴加快蒸发， 且雨滴半径越大， 越促进蒸发。
图6 同时计入表面效应和通风效应且相对湿度场为S时不同初始半径雨滴下落过程的蒸发模拟

Fig.6 Evaporation simulation of raindrop dropping process with different initial radius when the effects of surface effect and ventilation effect are both taken into account and the relative humidity is S

综合以上分析可知， 通风效应对雨滴的蒸发起促进作用， 而表面效应对雨滴的蒸发起阻碍作用。只有在雨滴半径很小时， 表面效应才会起主导作用， 雨滴半径较大时， 都是通风效应起主导作用。当然会存在一个临界半径， 使得表面效应与通风效应相互抵消， 笔者认为需要选取更多的不同粒径的雨滴进行蒸发过程的模拟， 再进行曲线拟合， 有望得到该临界值。
即使两个效应的作用是相反的， 从4.2和4.3节的分析中可以看到相对湿度场的影响不会改变， 只要相对湿度场变干， 越有利于蒸发， 且雨滴半径越小， 影响越大。本节的相对湿度场的敏感性实验得到的结论不变（图略）。

5 结论与讨论

单个雨滴下落是一个极其复杂的过程， 其中一些机理至今还未研究清楚。基于Maxwell理论， 本文做了一些简化与修正， 特别是拟合得到一个可以用空气密度和雨滴半径计算任意高度末速度的连续公式。从微观角度比较详细地模拟了雨滴下落过程， 得到了一个比较符合实际的雨滴下落模型， 得出以下结论：
(1) 仅用Maxwell理论的原理来模拟雨滴的蒸发， 在雨滴半径较大时， 有较大的偏差， 在雨滴半径较小时， 能较好的模拟出雨滴的蒸发过程。而在实际降雨中， 雨滴直径一般大于1 mm， 属于大粒径的雨滴， 模拟结果不能很好的揭示实际的蒸发过程。
(2) 计入通风效应后， 已经较好地模拟了雨滴的蒸发过程， 且通风效应对蒸发起促进作用， 雨滴半径越大， 促进效果越大。
(3) 计入表面效应后， 从理论上来讲， 在一定程度上修正了原Maxwell理论带来的误差， 且表面效应对蒸发起阻碍作用， 雨滴半径越大， 阻碍作用越小。
(4) 同时计入通风效应和表面效应后， 从理论上讲， 该模型可以用来模拟真实大气中雨滴的蒸发过程， 仅在雨滴半径很小时， 表面效应才会占主导作用。
(5) 敏感性实验显示， 雨滴所处的相对湿度场对雨滴的蒸发有一定影响， 且相对湿度越小， 也即环境空气越干， 越有利于雨滴的蒸发， 且雨滴半径越小， 影响越大。
微观过程的复杂性一直是一个难点， 因为很多机制尚不明确， 国内又缺乏研究与观测资料， 所以本文建立的模型仍然有一些不足之处。在对雨滴末速度的推导过程中， 把 μ N R e D当作了常函数来处理， 得到了任意高度的末速度， 把 μ N R e D所包含的信息用 V p ( r )来代替。此外， 选取2015年昆明站的日探空资料作为原始资料， 在对其他地方或者昆明其他时间的雨滴蒸发过程模拟时， 需要重新拟合初始高度的末速度与雨滴半径的函数关系。另外， 注意到初始半径为1600 μm和3200 μm的雨滴考虑通风效应和表面效应后落到地面的末速 度分别约为15 m∙s-1和29 m∙s-1， 而实际雨滴落到地面的速度一般不超过8~9 m∙s-1， 可能存在尚未考虑的物理机制和影响因子(比如颤动与破碎)使得大雨滴的末速度减小。最后， 由于云中云滴谱很难观测， 根据粒子后向散射比的探空廓线配合相对湿度的垂直廓线， 找出云滴增长的高度以及下落后在空中消散的高度， 从而来估算云滴的大小。要想通过探空的方式估算云滴的大小， 建立模型只是第一步， 目前还无法通过实际地面观测资料来评估该模型的精确度。因此， 在积累更多雨滴观测资料的基础上， 可以利用本文改进的模型对雨滴的下落过程进行更深入的研究。

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